zwei von t abhängige Funktionen zueinander in Bezug setzen

anonymus

Hallo,
von einem System ist die Eingabe x(t) und die Ausgabe y(t) bekannt:

$x(t) = \frac{1}{4}\sin(10t)$

$y(t) = \cos(5t)$

Die Frage ist, ob es sich dabei um ein LTI - System handelt.

Dazu müsste u. a. nachgewiesen werden, ob das System linear ist.

Die Bedingungen dafür sind:

y(ax) = a * y(x)
y(x1 + x2) = y(x1) + y(x2)

Aber hier weiss ich leider nicht mehr so recht weiter:

I)
Man könnte das x(t) einfach ignorieren und die beiden Bedingungen
nur auf y(t) loslassen. Ergebnis:

cos(a * 5t) [e]ne[/e] a cos(5t)

=> System nicht linear

II)
Wir haben mal eine Aufgabe gerechnet, bei der das y in direkter Abhängigkeit vom x(t) gegeben war, also sowas in der Art: y( x(t) ) = foo * x(t).
Drum hab ich den Verdacht, dass Ansatz I) falsch ist und auch hier erst ein
Zusammenhang zwischen x und y zu suchen ist, hab aber leider keinen Plan, wie
das zu machen wäre.
In den Sinn käme mir höchstens die Übertragungsfunktion:
$g(t) = \frac{y(t)}{x(t)}$
und somit:
$z(x(t)) = g(t) * x(t) = y(t)$
Dadurch hab ich aber glaub ich nichts gewonnen...

Leider hab ich keine Lösung gegeben. Drum weiss ich auch nicht, ob
einer der beiden Ansätze in die richtige Richtung führt.

Würd mich über eine Antwort freuen
Martin

PS:
Hab noch von einem interessanten Ansatz gehört:
Da x(t) und y(t) unterschiedliche (Kreis)Frequenzen haben (5 bzw 10 1/sec)
kann es sich nicht um ein LTI System handeln.

Daniel E.

anonymus schrieb:

$x(t) = \frac{1}{4}\sin(10t)$

$y(t) = \cos(5t)$

Die Frage ist, ob es sich dabei um ein LTI - System handelt.

Dazu müsste u. a. nachgewiesen werden, ob das System linear ist.

Die Bedingungen dafür sind:

y(ax) = a * y(x)

y(x1 + x2) = y(x1) + y(x2)

Aber hier weiss ich leider nicht mehr so recht weiter:

I)
Man könnte das x(t) einfach ignorieren und die beiden Bedingungen
nur auf y(t) loslassen. Ergebnis:
cos(a * 5t) [e]ne[/e] a cos(5t)
=> System nicht linear

Das kannst Du so einfach nicht feststellen. y(t) ist doch definiert als Faltung von x(t) mit h(t) (Impulsantwort). Ein System, daß auf einen Diracimpuls mit einem Sinus antwortet, ist problemlos denkbar ...

II)
Wir haben mal eine Aufgabe gerechnet, bei der das y in direkter Abhängigkeit vom x(t) gegeben war, also sowas in der Art: y( x(t) ) = foo * x(t).
Drum hab ich den Verdacht, dass Ansatz I) falsch ist und auch hier erst ein
Zusammenhang zwischen x und y zu suchen ist, hab aber leider keinen Plan, wie
das zu machen wäre.

Guck dir mal an, wie man sonst von x(t) auf y(t) kommt (Faltungsintegral oder Differentialgleichung ...). Und überlege dir mit den Eigenschaften, wie ein LTI-System auf eine Sinusschwingung antworten kann (Betrag, Phase, Frequenz ...).

In den Sinn käme mir höchstens die Übertragungsfunktion:
$g(t) = \frac{y(t)}{x(t)}$
und somit:
$z(x(t)) = g(t) * x(t) = y(t)$
Dadurch hab ich aber glaub ich nichts gewonnen...

Ähm, Übertragungsfunktionen schreibt man doch nicht im Zeitbereich hin, sondern im Frequenzbereich. Also müßtest Du x(t) und y(t) transformieren (was den netten Nebeneffekt hat, daß die Auswertung des Faltungsintegrals zu einer schnöden Multiplikation wird). Dann kannst Du nach H(w) umstellen (oder eben nicht ... weil bei der Fouriertrafo Sinuskurven zu ein paar Dirac-Distributionen werden, die aber hier an verschiedenen Positionen stehen ...).

PS:
Hab noch von einem interessanten Ansatz gehört:
Da x(t) und y(t) unterschiedliche (Kreis)Frequenzen haben (5 bzw 10 1/sec)
kann es sich nicht um ein LTI System handeln.

Das ist schon der entscheidende Punkt ... aber warum?

anonymus

Daniel E. schrieb:

Das kannst Du so einfach nicht feststellen. y(t) ist doch definiert als Faltung von x(t) mit h(t) (Impulsantwort). Ein System, daß auf einen Diracimpuls mit einem Sinus antwortet, ist problemlos denkbar ...

II)
Wir haben mal eine Aufgabe gerechnet, bei der das y in direkter Abhängigkeit vom x(t) gegeben war, also sowas in der Art: y( x(t) ) = foo * x(t).
Drum hab ich den Verdacht, dass Ansatz I) falsch ist und auch hier erst ein
Zusammenhang zwischen x und y zu suchen ist, hab aber leider keinen Plan, wie
das zu machen wäre.

Guck dir mal an, wie man sonst von x(t) auf y(t) kommt (Faltungsintegral oder Differentialgleichung ...). Und überlege dir mit den Eigenschaften, wie ein LTI-System auf eine Sinusschwingung antworten kann (Betrag, Phase, Frequenz ...).

x(t) nach y(t)?
Najo, x(t) Laplace transformieren, mit der Übertragungsfunktion multiplizieren
und mit viel Glück findet sich dann eine Form im Bildbereich für die's eine
passende Korrespondenz gibt und dann gibts y(t).
Dabei kann sich die Phase ändern, der Betrag wohl auch nur die Frequenz nicht.
Das "wieso" nehm ich mal so hin.

Daniel E. schrieb:

In den Sinn käme mir höchstens die Übertragungsfunktion:
$g(t) = \frac{y(t)}{x(t)}$
und somit:
$z(x(t)) = g(t) * x(t) = y(t)$
Dadurch hab ich aber glaub ich nichts gewonnen...

Ähm, Übertragungsfunktionen schreibt man doch nicht im Zeitbereich hin, sondern im Frequenzbereich. Also müßtest Du x(t) und y(t) transformieren (was den netten Nebeneffekt hat, daß die Auswertung des Faltungsintegrals zu einer schnöden Multiplikation wird). Dann kannst Du nach H(w) umstellen (oder eben nicht ... weil bei der Fouriertrafo Sinuskurven zu ein paar Dirac-Distributionen werden, die aber hier an verschiedenen Positionen stehen ...).

Autsch, dass mit der Übertragungsfunktion im Zeitbereich ist wirklich Müll.

Aber nach der Übertragungsfunktion läßt sich schon umstellen, aber ob Linearität
vorliegt oder nicht kann ich da ned rauslesen:

mit Laplace (unter Vorbehalt):
$G(s) = \frac{2}{5} s^2 \frac{s}{s^2 + 5^2} + \frac{2 \cdot 10^2}{5} \frac{s}{s^2 + 5^2} => g(t) = 30 \cos(5t)$

mit Fourier
F(\omega) = \frac{X(\omega)}{Y(\omega)} = \frac{4 \pi [\delta(\omega + 5) + \delta(\omeag - 5)]}{j \pi[\delta(\omega + 10) - \delta(\omega - 10)]} => F^{-1}\{\} = ???

Daniel E. schrieb:

PS:
Hab noch von einem interessanten Ansatz gehört:
Da x(t) und y(t) unterschiedliche (Kreis)Frequenzen haben (5 bzw 10 1/sec)
kann es sich nicht um ein LTI System handeln.

Das ist schon der entscheidende Punkt ... aber warum?

Ok, dann kann ich mir jetzt zumindest sicher sein, dass das die richtige Antwort ist.

Warum ein LTI System die Frequenz nicht ändern kann?
Ist wohl eine Bildungslücke, aber frei nach dem Motto
"Wissen ist Macht, nichts wissen macht auch nichts" hoffe
ich mal auf einen gnädigen Prüfer, der sowas nicht fragt
(bin ja nur mickriger FHler, da ist das warum nicht so entscheidend...)

Dann vielen Dank
bin glaub ich doch die eine oder andere Erkenntnisse reicher

mfg
Martin