Extremwertaufgabe



  • Hey! Hab als Hausaufgabe hier so ne bescheurte Extremwertaufgabe die eigentlich auf dem ersten Blick total einfach aussah, aber ich krieg den Ansatz irgendwie nicht hin!

    Die Aufgabe lautet:

    Gegeben sind die Funktionen p: f(x)=(x-2)²+3 mit D(p)=R und g: f(x)=x-5 mit D(g)=R. Ermittle durch Rechnung die kürzeste Entfernung zwischen beiden Graphen.

    Habe erst einmal von g die orthogonale gebildet und kam auf g(x)=-x+b und habe versucht irgendwie mit dem Satz des Pytagoras den Abstand auszudrücken, aber ich kam dann nur auf eine Gleichung mit 3 Unbekannten (x1,x2,b).

    Könntet ihr mir helfen, zumindest den Ansatz geben. Steh total auf dem Schlauch 😕

    Danke schonma im voraus 🙂



  • Ich würd's folgendermaßen versuchen:

    y = g(x) = x+5. Die Gerade kann man auch ein bißchen anders schreiben: y-x = 5. Das ist wie eine Ebenenform in der analytischen Geometrie, halt nur in 2D. Dann kannste die Hesse-Normalenform davon aufstellen und die zur Abstandsberechnung verwenden. Die Punkteschaar für die dich der Abstand interessiert ist (x,(x-2)^2+3),x in R. Den Abstand kannst mit der Hesse-Normalenform hinschreiben und dann minimieren.



  • Jester schrieb:

    Ich würd's folgendermaßen versuchen:

    y = g(x) = x+5. Die Gerade kann man auch ein bißchen anders schreiben: y-x = 5. Das ist wie eine Ebenenform in der analytischen Geometrie, halt nur in 2D. Dann kannste die Hesse-Normalenform davon aufstellen und die zur Abstandsberechnung verwenden. Die Punkteschaar für die dich der Abstand interessiert ist (x,(x-2)^2+3),x in R. Den Abstand kannst mit der Hesse-Normalenform hinschreiben und dann minimieren.

    Danke schonmal für deine Antwort! Leider hab ich noch nie was von einer Hesse-Normalform gehört 😞 Bin grad in der 12 und wir nehmen Extremwertaufgaben durch und ich schätze so kann die Aufgabe auch irgendwie gelöst werden. Hat vielleicht einer noch eine Idee?



  • Ja, das was da dann rauskommt ist eine Extremwertaufgabe. Die mußte dann noch lösen.

    Kann es sein, dass vielleicht der senkrecht gemessene Abstand gemeint ist? Das würde die Sache erheblich einfacher machen.



  • Ich denke schon! Ist der senkrecht gemessene Abstand nicht der kürzeste?? Zumindest bei einer Geraden...



  • Ich meine senkrecht nach unten, also senkrecht zur x-Achse.



  • Nein ist es nicht, steht zumindest nicht in der Aufgabenstellung. Es steht nur "die kürzeste Entfernung"...



  • Eventuell kann man was machen, wenn man benutzt, dass die Gerade ne 45°-Steigung hat?



  • Hab die Lösung herausgefunden, an die die's interessiert:

    Man betrachtet einfach die Gerade als neue x-Achse. Da wo die Parabel der Geraden am nächsten kommt hat sie einen Tiefpunkt (aber bei der neuen X-Achse)

    Also gilt:

    f(x) = (x-2)²+3
    f(x) = x²-4x+7
    f'(x)= 2x-4

    g(x) = x-5
    g'(x)= 1

    f'(x)=g'(x)
    (g'(x) statt 0, weil wir das "neue" minimum bestimmen)
    2x-4 = 1
    x = 2,5
    -------

    Das Ergebnis stimmt auch meiner Zeichnung überein, ich gehe davon aus das es stimmt. Ob das eine gängige Lösungsmöglichkeit ist weiß ich nicht, aber es ist mir zumindest logisch und es scheint zu funktionieren 😃



  • Was kriegst du dann als Abstand raus?

    Ich habe die Aufgabe mal mit einer anderen Methode durchgerechnet (kann ich bei Interesse posten, ist aber länger) und ich habe (sogar mit 2 verschiedenen Wegen) als Lösung

    23/8 * sqrt(2)

    raus.

    Felix



  • Jester schrieb:

    Kann es sein, dass vielleicht der senkrecht gemessene Abstand gemeint ist? Das würde die Sache erheblich einfacher machen.

    So haette ich die Aufgabe auch verstanden. Ansonsten: wie ist denn die "Entfernung zwischen Graphen" definiert? f'`8k

    Gruß, TGGC (\-/ has leading)



  • Weedjo schrieb:

    Hab die Lösung herausgefunden, an die die's interessiert:

    Man betrachtet einfach die Gerade als neue x-Achse.

    😕 verläuft bei dir g(x) = x-5 parallel zur x-achse? wie kannst du das einfach so als neue x-achse betrachen? Die parabel ist doch keine mehr, wenn man alles um 45° dreht.



  • TGGC schrieb:

    Jester schrieb:

    Kann es sein, dass vielleicht der senkrecht gemessene Abstand gemeint ist? Das würde die Sache erheblich einfacher machen.

    So haette ich die Aufgabe auch verstanden. Ansonsten: wie ist denn die "Entfernung zwischen Graphen" definiert? f'`8k

    Nur weil dir das mit der Raumkrümmung zu kompliziert ist. :p



  • Nein, weil eine genaue Definition fehlt. Haette man die, brauechte man nur einsetzen. f'`8k

    Gruß, TGGC (\-/ has leading)



  • Die Definition ist doch genau, oder? Graphen sind Punktmengen, also ist mit "kürzester Abstand" natürlich der Abstand zweier Punkte gemeint. Und dieser Abstand ist definiert.



  • scrub schrieb:

    Graphen sind Punktmengen, also ist mit "kürzester Abstand" natürlich der Abstand zweier Punkte gemeint.

    a) Wie folgt aus Abstand Punktmemge ploetzlich Abstand Punkte?
    b) Der Abstand welcher zweier Punkte?
    c) Was ist jetzt mit der Entfernung?
    d) Der Definitionsbereich der Funktionen wurde nicht angegeben, streng genommen sind die Punktmengen nicht definiert. 😎

    Gruß, TGGC (\-/ has leading)



  • a) ist eine übliche Definition für den Abstand von Punktemengen: d(A,B) = inf {d(a,b) : a in A, b in B}

    das erschlägt auch gleich b) mit und c) natürlich auch

    d) steht in der Aufgabenstellung.



  • verläuft bei dir g(x) = x-5 parallel zur x-achse? wie kannst du das einfach so als neue x-achse betrachen? Die parabel ist doch keine mehr, wenn man alles um 45° dreht.

    nicht nur das f(x) ist dann nichtmal mehr eine Funktion da x werte mehrere y werte haben können oder garkeine.

    also wenn es senkrecht sein soll ist das rel. einfach.

    f(x) = (x-2)²+3
    g(x) = x-5

    h(x) = | f(x)-g(x)

    so jetzt kann man rel. einfach h(x) auf ihren niedrigsten Wert untersuchen z.B. das lokale Minimum berechenen gibt ja nur eines da Funktion 2. Grades.



  • Jester schrieb:

    a) ist eine übliche Definition für den Abstand von Punktemengen: d(A,B) = inf {d(a,b) : a in A, b in B}

    Eben. Fuer den Abstand nimmt man den Abstand zweier bestimmter Punkte. Aber damit gibt es gar keinen kuerzesten Abstand zwischen Punktmengen, denn es gaebe ja nur einen einzigen wohldefinierten Abstand. D.h. die Frage ist nach dieser Definition sinnlos. Wuerde man nicht nur nach kuerzester Entfernung sondern auch noch nach groesster Entfernung fragen, so wuerden sicher die Meisten annehmen, das nach der vertikalen Entfernung gefragt wird. f'`8k

    Gruß, TGGC (\-/ has leading)



  • TGGC schrieb:

    Jester schrieb:

    a) ist eine übliche Definition für den Abstand von Punktemengen: d(A,B) = inf {d(a,b) : a in A, b in B}

    Eben. Fuer den Abstand nimmt man den Abstand zweier bestimmter Punkte. Aber damit gibt es gar keinen kuerzesten Abstand zwischen Punktmengen, denn es gaebe ja nur einen einzigen wohldefinierten Abstand.

    Falsch - für den Abstand betrachtet man beliebige Paare von Punkten beider Mengen und deren Abstände zueinander. Der Abstand der Punktmengen ist dann das Minimum aller betrachteten Punktabstände.

    @Weedjo: Ich vermute mal, deine Lösung funktioniert nur für Spezialfälle. Im Allgemeinen mußt du tatsächlich von der mathematischen Definition für "Abstand" (siehe Jester) ausgehen:
    a = (x1,f(x1))
    b = (x2,g(x2))

    d(a,b) = sqrt((x2-x1)²+(g(x2)-f(x1)²) -> min

    (d.h. du suchst das Minimum in einer zweidimensionalen Funktion - partielle Ableitung nach x1 und x2, beide Ableitungen 0 setzen und das Gleichsungssystem auflösen)


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