Zufall oder was steckt dahinter?

Maxi

Ist es Zufall dass:
u_kreis = 2PIr
A_kreis = PI*r² = integral(u_kreis dr)

und:
A_Kugel = 4PI*r²
V_Kugel = 4/3 PI * r³ = integral(A_Kugel dr)

Ist das jetzt Zufall? glaub ich eigentlich nicht. Aber wie kommt das, dass wenn man die Overfläche nach r integriert, dass man auf die Volumenformel kommt?
Oder vom Umfang auf die Fläche

Beim Quadrat geht das ja zB nicht:
u = 4a
A = a² = 1/2 * integral(u da)

Also welche Gesetzmäßigkeit steckt dahinter?

borg

http://www.mathe.braunling.de/Efiguren.htm
http://www.mathe.braunling.de/Kreis.htm

THX 1138

Du kannst den Kreis als Kurve ansehen, eigentlich2 für jeden Halbkreis. Der Mittelpunkt ist dann der Ursprung.
Der Umfang ist die Bogenlänge. Dann berechnest du einen viertel der Fläche per Integral.

y=\sqrt{r^2-x^2}\hspace{4em}y=-\sqrt{r^2-x^2}

Das sind die Funktionen für die Kreislinie. Zeichne es mal auf.
Nun integriere von 0 - r, das entspricht der Fläche eines viertel Kreises.

$\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}\, dx$

=\frac{1}{2}[x\sqrt{r^2-x^2}+r^2*\arcsin{\frac{x}{r}}\,]_0^r

$=\frac{1}{2}+r^2\frac{ \Pi}{2}=\frac{1}{4}\Pi r^2$

Das ist dann die Fläche für den Viertelkreis

Edit: Naja zu langsam

Maxi

hi!

@THX 1138: Das wusste ich ja schon, wie man die Flächenformel des Krieses herleitet. Aber meine Frage war ja nun, ob es Zufall ist, dass die Ableitung der Fläche dem Umafang des Krieses entsprcht? Beim Quadrat geht das ja nicht. oder nur mit einem korrekturfaktor.

@borg: auf den beiden Seiten stand dazu auch ncihts.
Oder ich habs überlesen

THX 1138

Nein ist kein Zufall. Die Fläche unter einer Kurve ist nun mal das Integral.
Und das Quadrat ist ja nicht stetig.

Nein ist kein Zufall. Man kann einen Kreis ja in viele kleine (sprich: dünne) konzentrische Ringe zerlegen. Wenn diese Ringe alle die Dicke delta r haben, haben sie in erster Näherung die Fläche U*(delta r), also 2*pi*r*(delta r). Die Fläche des Kreises ist die Summe aller dieser Flächen. Wenn ich nun unendlich viele dieser Ringe habe, geht delta r gegen Null, es ist also eine infinitesimale Größe und ich kann einfach dr schreiben. Die Summe wird damit zu einem Integral und es steht
$A = \int_0^R 2\pi r dr$
da, was gerade pi*R^2 ergibt.

Bei der Kugel geht das analog, man kann unendlich viele, infinitesimal dünne Kugelscheiben aufsummieren.

Maxi

@thx:
Dass die Fläche unter der Kurve das INtegral ist hast du ja quasi schon in deinem vorherigen Post gesagt, wusst ich ja auch. Aber das steht doch in keinem Zusammenhang zu Umfang<->Flächeninhalt.
Was meinst du mit das Quadrat ist nich stetig? In dem Bereich wo man integrieren müsste, also von 0 bis a ists es doch stetig oder versteh ich dich falsch?

@physiker:
wenn mans so sieht ists logisch dass die Fläche das integral des umfangs ist.

Allerdings würde mich jetzt schon interessieren, ob das nur beim Kreis so geht, oder ob es allgemein eine Methode gibt von der Umfangsformel auf die Flächenformel bzw. Oberflächenformel auf volumenformel zu schliessen?

THX 1138

Maxi schrieb:

Was meinst du mit das Quadrat ist nich stetig? In dem Bereich wo man integrieren müsste, also von 0 bis a ists es doch stetig oder versteh ich dich falsch?

Die Seite bei a und -a ist nicht in dem Intervall und fehlt somit.

Beim Quadrat geht das auch.

Nehmen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge 2a (analog zu einem Kreis mit Durchmesser 2r) und legen ein Koordinatensystem so, dass der Ursprung im Mittelpunkt des Quadrats liegt und die Achsen parallel zu den Kanten liegen.

Wir können das Quadrat wieder in lauter kleine "Rahmen" der Dicke dr zerlegen. Wenn der Abstand eines solchen Rahmens r beträgt, ist seine Fläche wieder in erster Näherung 8*r*dr (wieder Umfang * dr).
Integrieren wir das von 0 bis a über r, dann kommt 4a² raus. Genau die Fläche eines Quadrates mit Seitenlänge 2a.

Man kann das also vermutlich mit allen Figuren machen.

anschaulich liegt es daran, dass eine kugelschale mit der dicke dr in erster ordnung das volumen A*dr hat, wobei A die oberfläche der kugelschale ist. und das volumen der kugel ist die summe der volumina aller kugelschalen, von innen nach außen:

$V = \sum\_i {\Delta r}\_i \cdot 4 \pi r^2$

im grenzwert dr -> 0. und da geht die summe gerade in das integral über.

beim quadrat funktioniert das auch, wenn du die mitte des quadrats in den ursprung legst, d.h. die kantenlänge 2a ist:
A = (2a)^2 = 4 a^2
U = 8a = d/da(A)

analog funktioniert es beim kreis nicht, wenn du als parameter nicht r, sondern den durchmesser nimmst.

generell ist es aber doch ein bisschen "zufall" - soweit, wie man in der mathematik von zufall sprechen kann - denn es funktioniert nur, wenn die verschiebung dr senkrecht auf der oberfläche bzw. dem umfang steht. das ist bei kreis und kugel der fall. beim quadrat ist dies nicht der fall, aber "zufällig" wird das gerade dadurch ausgeglichen, dass die ecken vom mittelpunkt weiter weg sind, als die mittelpunkte der seiten.

Der Grund, warum das bei dir am Anfang nicht gepasst hat, ist der, dass man eben zwischen "Durchmesser" und "Radius" unterscheiden muss, auch wenn die Begriffe beim Quadrat nicht ganz passen. Aber ich denke, es ist klar, was ich meine.