4. Taylor Polynom berechnen

Taylor Polynom berechnen

  • J

    Hallo.

    Sei f(x)=2+x10f(x)=\sqrt{2+x^{10}}.
    Ich mächte mir nun das dazugehörige Taylorpolynom an der Anschlussstelle x0=0x_0=0 berechnen.

    Leider hab ich überhaupt keinen Plan wie ich auf die Koeffizientenfolge komme.

    Könnt ihr mir tipps geben?

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  • J

    Ja: ableiten.

    Kennst du die Taylor-Formel? Wenn nicht, dann schau in der Wikipedia nach. Wenn doch, dann sollte doch eigentlich alles klar sein, oder?

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  • T

    T(x,x_0)=∑_i=0∞f(i)(x_0)i!(x−x_0)iT(x,x\_0) = \sum\_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(x\_0)}{i!}(x-x\_0)^i

    Wobei f(i)(x)f^{(i)}(x) die i-te Ableitung ist und f(0)(x)=f(x)f^{(0)}(x) = f(x)

    Sowas steht aber auch in jeder Formelsammlung und bestimmt auch in der Wiki... jetzt nur noch fleißig ableiten 🙂 Je nachdem, was du machen willst, ist es üblich, nicht alle Summanden anzugeben. Das wird dir hier das Leben deutlich erleichtern, besonders wenn du i=0..9 laufen lässt 🙂

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  • J

    Danke für die antworten, aber genau das will ich nicht.

    Ich kenne die Formel für die Taylrreihe sehr gut.

    Ich möchte mit der Taylorreihe ja auf die Ableitungen an der Stelle 0 kommen.

    Deshalb hab ich gehofft, dass ich die Funktion f als Potenzreihe anschreiben kann und dann die Koeffizienten der Reihe als Taylorkoeffizienten f(n)n!\frac{f^{(n)}}{n!} nehmen kann und mir die Ableitungen daraus ermitteln kann.

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  • ?

    laut wikipedia ist eine Voraussetung für Taylorpolynome, dass die funktion beliebig oft differenzierbar ist. das ist für die entwicklungsstelle x0=0x_0=0 nicht der fall. ich weiß jetzt auf anhieb nicht, ob es für andere x möglich ist.
    imho ist es dann nicht möglich taylorpolynom davon aufzustellen.

    hättest du die frage paar tage früher gestellt, könnte ich noch paar punkte bei meiner klausur rausholen...

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  • ?

    matimatiker schrieb:

    das ist für die entwicklungsstelle x0=0x_0=0 nicht der fall.

    ja wieso das denn?

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  • J

    Die Funktion ist ganz sicher ∞\infty oft differentierbar.

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  • ?

    sorry, war ein denkfehler von mir habe zuerst 0 eingesetzt dann abgeleitet.

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  • S

    http://www.cfd.tu-berlin.de/Lehre/tfd_skript/node11.html

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  • ?

    Ich hab' jetzt nicht die große Ahnung von Taylor, aber kannst du nicht die Taylorreihe von x\sqrt x an der stelle x0=2x_0 = 2nehmen, und in die x10x^{10} reinpacken?

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  • Ich möchte mit der Taylorreihe ja auf die Ableitungen an der Stelle 0 kommen.

    wo liegt das problem 2+x10\sqrt{2+x^{10}} abzuleiten?

    (2+x10)′=((2+x10)12)′=12⋅(2+x10)−12⋅10⋅x9=5⋅x92+x10\left (\sqrt{2+x^{10}} \right )^\prime = \left ( \left (2+x^{10} \right )^{\frac{1}{2}} \right )^\prime = \frac{1}{2} \cdot \left (2+x^{10} \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot 10 \cdot x^9 = \frac{5 \cdot x^9}{\sqrt{2+x^{10}}}

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  • ?

    dot schrieb:

    wo liegt das problem 2+x10\sqrt{2+x^{10}} abzuleiten?

    und jetzt bitte die n-te ableitung.

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  • J

    Ich möchte aber wenn möglich die Funktion als Potenzreihe darstellen um dann die Taylorkoeffizienten zu bekommen.

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  • D

    Hoecker schrieb:

    dot schrieb:

    wo liegt das problem 2+x10\sqrt{2+x^{10}} abzuleiten?

    und jetzt bitte die n-te ableitung.

    Es interessieren nur die Ableitungen an der Stelle x=0, und die sollten sich recht leicht bestimmen lassen, es bleiben ja nur jeweils vielfache der 10-ten Ableitung stehen (also die Potenzen x^10, x^20, x^30 usw.). Die Spielregel für die Koeffizienten herauszufinden sollte nicht so kompliziert sein ...

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  • so ist es. schlimmsten falles müsste er 10 mal ableiten.

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  • J

    Ich hab jetzt die Lösung die ich wollte und muss sagen, dass die mir sehr gefällt.

    Werde sie morgen dann posten.

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  • S

    Jover schrieb:

    Ich hab jetzt die Lösung die ich wollte und muss sagen, dass die mir sehr gefällt.

    Werde sie morgen dann posten.

    Würde mich interessieren, bitte nicht vergessen. Wir haben am Mittwoch unsere Arbeit 🙂

    MfG SideWinder

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  • J

    f(x)&=&\sqrt{2+x^{10}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{x^{10}}{2}}\\ &=&\sqrt{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}{{\frac{1}{2}\choose n}\left(\frac{x^{10}}{2}\right)^n}

    daraus folgt:
    f10n(0)10n!=(12n)22n\frac{f^{10n}(0)}{10n!} = {\frac{1}{2} \choose n}\frac{\sqrt{2}}{2^n}
    Damit kannst du dann die Ableitungen an der Stelle 0 ermitteln.

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  • B

    @Jover: habt ihr in der schule schon die gamma-funktion behandelt oder wie habt ihr (12n)\frac{1}{2} \choose n definiert?

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  • J

    a∈Ra\in\mathbb{R} und k∈Nk\in\mathbb{N}
    Dann ist (ak)=1k!∏i=1k(a+1−i){a \choose k} = \frac{1}{k!}\prod_{i=1}^{k}{(a+1-i)}

    Die Gamma-Funktion haben wir in der Schule nicht durchgenommen.
    Dafür im Studium. 😉

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