Stetigkeit einer subadditiven Funktion



  • Hallo,

    ich soll zeigen, dass eine subadditive Funktion, d.h. eine Funktion f:RRf:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} mit f(x+y)f(x)+f(y)f\left( x+y \right) \leq f\left( x \right) + f\left( y \right), die stetig in 00 mit f(0)=0f\left( 0 \right) = 0 ist, auf ganz R\mathbb{R} stetig ist.

    Mein Ansatz ist folgender: Ich weiß, dass f stetig in 0 ist, also gibt es für jedes ε>0\varepsilon > 0 ein δ>0\delta > 0, so dass aus x<δ\left| x \right| < \delta folgt, dass f(x)f(0)=f(x)<ε\left| f \left( x \right) - f\left( 0 \right) \right| = \left| f \left( x \right) \right| < \varepsilon.

    Damit kann man dann folgendes machen:

    Für xx0<δ\left| x - x_{0} \right| < \delta ist dann f(x)f(x0)=f(x0+Δ)f(x0)f(x0)+f(Δ)f(x0)f \left( x\right) - f \left( x_{0} \right) = f \left( x_{0} + \Delta \right) - f \left( x_{0} \right) \leq f \left( x_{0} \right) + f \left( \Delta \right)- f \left( x_{0} \right) mit Δ<δ\left| \Delta \right| < \delta.

    Damit hat man dann, da f ja in 0 stetig ist (siehe oben):

    f(x)f(x0)f(Δ)<εf \left( x\right) - f \left( x_{0} \right) \leq f \left( \Delta \right) < \varepsilon.

    Das Problem, dass ich noch habe ist, dass das Ganze ja für den Betrag und nicht so wie ich es gezeigt habe gelten muss. Es könnte ja f(x)f(x0)f \left( x\right) - f \left( x_{0} \right) sehr viel kleiner als ε\varepsilon sein (also kleiner als Null und damit vom Betrag her wieder viel zu grpß...)

    Habt ihr eine Idee dazu?

    Felix



  • Mach Fallunterscheidung.
    f(x)f(x0)f(x)f(x0)f(Δ)f(x) \geq f(x_{0}) \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})| \leq |f(\Delta)|
    f(x)<f(x0)f(x)f(x0)=f(x0)f(x)f(Δ)f(x) < f(x_{0}) \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|=|f(x_{0})-f(x)| \leq |f(-\Delta)|



  • Das mit dem oberen Fall funktioniert gut, dann kriegt man

    Für f(x0+Δ)f(x0)f\left( x_{0} + \Delta \right) \geq f\left( x_{0} \right): f(x0+Δ)f(x0)=f(x0+Δ)f(x0)f(x0)+f(Δ)f(x0)=f(Δ)f(Δ)\left| f\left( x_{0} + \Delta \right) - f\left( x_{0} \right) \right| = f\left( x_{0} + \Delta \right) - f\left( x_{0} \right) \leq f\left( x_{0} \right) + f\left(\Delta \right) - f\left( x_{0} \right) = f \left( \Delta \right) \leq \left| f \left( \Delta \right) \right|

    Für f(x0+Δ)<f(x0)f\left( x_{0} + \Delta \right) < f\left( x_{0} \right) kriegt man aber: f(x0+Δ)f(x0)=f(x0)f(x0+Δ)f(Δ)\left| f\left( x_{0} + \Delta \right) - f\left( x_{0} \right) \right| = f\left( x_{0} \right) - f\left( x_{0} + \Delta \right) \geq f\left(\Delta \right)

    Wie bist du denn bei deiner Abschätzung auf die f(Δ)\leq \left| f\left( -\Delta \right) \right| gekommen?

    Felix



  • f(x0)=f(xΔ)f(x_{0})=f(x-\Delta)



  • DANKE! Du bist genial... 😃 Ich dachte mir eigentlich schon, dass es ganz einfach sein muss und ich die Lösung vor mir habe und nur nicht sehe. Vielen Dank nochmal, auch wenn ich mich jetzt umso mehr ärgere, dass ich nicht selbst darauf gekommen bin.

    Felix


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