Perspektivische Projektion: "z weglassen und in w speichern"

[xindon]

Hey,

ich schreibe gerade an meiner Facharbeit in Mathe und erkläre die perspektivische Projektion.

Momentan bin ich an der Stelle, wo ich die drei Gleichungen für die Abbildungen der Punkte im frustum ins kanonischen Sichtfeld aufgestellt habe und versuche, eine Matrix dafür zu finden.

Die Gleichungen (,die z auf das Intervall [-1,-1] mappen,) sind:

$x'z = \frac{2n}{r-l}\;x - \frac{r+l}{r-l}\;z \qquad y'z = \frac{2n}{t-b}\;y - \frac{t+b}{t-b}\;z \qquad z'z = \frac{n+f}{f-n}\;z + \frac{-2fn}{f-n}$

Jetzt geht man ja hin, vernachlässigt das z, speichert es aber in w und stellt die Matrix auf. Nach der Matrixmultiplikation teilt man alle Komponenten des Ergebnisvektors durch w, um die homogenen in kartesische Koordinaten umzuwandeln.

Meine Frage ist jetzt, wie ich das am besten mathematisch beschreibe, dass man das z einfach "weglässt" oder "sich wegdenkt". Das kann ich ja schlecht so in meiner Facharbeit schreiben

Vielen Dank!

Tim

Edit: der LaTeX Code mag irgendwie nicht, aber die Formeln sind ja auch nicht weiter wichtig

[this-*gt*that]

Wieso sollte man z "vernachlässigen"? z Wird genauso durch w geteilt wie xy.

[xindon]

Nein nein, ich hab mich unklar ausgedrückt.

Bei der Findung einer Matrix macht man aus der Gleichung x'z = .. x'' =.. .

Vertexwahn schreibt es in seinem "Paper" über die perspektivische Projektion so:
Das z bei x’z, y’z und z’z stört. Würden diese z nicht existieren hätten wir ein lineares
Gleichungssystem. Wir denken uns die drei z’s einfach weg und weisen der
Homogenen Koordinate den Wert von z zu

[this-*gt*that]

Nun ja, damit meint er wohl, dass das man mit der Multiplikation mit der Projektionsmatrix NICHT x',y',z' bekommt, sondern x'z,y'z und z'z. Also packen wir z in w, da wir dann nach der homogenen Division das gewünschte x',y' und z' erhalten.

Um also ein LGS zu erhalten, das dann wiederum als Matrix darstellbar ist, wird das z (von x'z) in der Gleichung gelassen und nach der Matrixmultiplikation wieder rausgerechnet. Die vollständige Abbildung ist also eine Matrixmul. + Division.

[xindon]

hey hey hey halt

Ich - habe - den - Vorgang - schon - verstanden.

Es geht mir doch einfach nur darum, ob man das mathematisch irgendwie schön formulieren kann, dass man zum Erhalt eines LGS das z wegmacht bzw. sich wegdenkt und in w speichert, um später dadurch zu teilen.

[this-*gt*that]

Na offenbar hast du es ja NICHT verstanden, sonst würdest du die Frage mit dem "wegmachen" nicht stellen. Es wird doch gerade eben NICHT weggemacht oder weggedacht. Es bleibt erhalten und deshalb wird nach der Multiplikation noch die perspektivische Division ausgeführt.