Bestimmtes Integral



  • Hallo,

    wenn ich eine Funktion f habe mit dazugehöriger Stammfunktion F, dann ist ja die Fläche unter f im Intervall [a,b] gegeben durch F(b)-F(a).
    Heißt das dann, dass die Fläche von Minus Unendlich bis b gleich F(b) ist?



  • Hallo,

    nein.
    F(b) ist ja sowieso nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, die sich erst durch die Differenzbildung F(b)-F(a) heraushebt.

    Das mit der Fläche ist auch nur dann richtig, wenn man über eine Funktion integriert, die im gesamten Intervall >=0 ist.



  • integrator schrieb:

    Hallo,

    wenn ich eine Funktion f habe mit dazugehöriger Stammfunktion F, dann ist ja die Fläche unter f im Intervall [a,b] gegeben durch F(b)-F(a).
    Heißt das dann, dass die Fläche von Minus Unendlich bis b gleich F(b) ist?

    Du kannst glaub ich die Behauptung noch retten, wenn F eine Funktion ist, die für x->-inf 0 wird und überall >= 0 ist. Das gilt zum Beispiel für F(x) = exp(x).



  • Also, ich kam zu der Frage wegen der Normalverteilung.
    In diesem Miniskript:
    http://page.mi.fu-berlin.de/mielke/eis/Kleessen-Normalverteilung.pdf
    ist Pi (Seite 4) das Integral von Minus Unendlich bis x.
    Und auf Seite 5 bringt er dann ein Beispiel: Wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen will, dass der PWK höchstens 13 Jahre alt wird, dann setze ich einfach in Pi den entsprechenden Wert ein, also: W(X <= 13) = pi(1.5)

    Ist dieses Pi vielleicht garnicht die echte Stammfunktion der Normalverteilung?



  • Diese „Stammfunktion“ der Normalverteilung hat gerade die von mir beschriebenen Eigenschaften (kannste ja recht schnell nachrechnen).

    Da sie aber nicht existiert (es gibt keine differenzierbare Funktion F mit F=ex2F' = e^{-x^2}, kann man auch nicht so wirklich von „echt“ sprechen 😉



  • .filmor schrieb:

    es gibt keine differenzierbare Funktion F mit F=ex2F' = e^{-x^2}, kann man auch nicht so wirklich von „echt“ sprechen 😉

    Inwiefern verstößte denn das Phi gegen diese Eigenschaften?



  • Hm, ist dieses F der Normalverteilung (z.B. gegen hier http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung )
    die ECHTE Stammfunktion von f oder einfach nur eine Funktion, die genau die Wahrscheinlichkeit bis x angibt?



  • integrator schrieb:

    Hm, ist dieses F der Normalverteilung (z.B. gegen hier http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung )
    die ECHTE Stammfunktion von f oder einfach nur eine Funktion, die genau die Wahrscheinlichkeit bis x angibt?

    Natürlich ist die echt. Allerdings besitzt sie keine elementare Darstellung.



  • Versteh ich nicht. Wieso geht denn das Integral von F nur bis x und nicht bis unendlich??



  • Ok, ich glaub ich hab es jetzt.
    Dieses Verteilungsfunktion F (die 2. Formel auf http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung ) ist das echte Integral der Dichte f(x), da ja gilt F(x) = Integral^{a,x} über f(t) dt (vorletzte Formel hier http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion )

    Stimmt das?


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