Vetoren : lineare Abhängigkeit



  • servus leute,

    hab' da ein problem mit einer mathe-aufgabe, sie sieht so aus: man hat die 3 vektoren

    (1) (2) (3)
     0   a²  0
     a   1   0
     1   0   1
    

    und nun muss a so gewählt werden, dass die 3 vektoren linear abhängig sind, also so, dass es nicht nur die triviale lösung r=s=t=0 als lösung gibt. dazu macht man aus den vektoren ein lgs

    a²s         = 0
    ar  +    s         = 0
     r            +  t = 0
    

    ab da an verrechne ich mich dann ständig. wie muss ich hier addieren/subtrahieren um auf das ergebnis zu kommen?

    Vielen dank für tips/lösungen schonmal im Voraus 😉



  • du brauchst es nicht berechnen, du kannst nach der cramerschen Regel gehen. (siehe Wikipedia). Wenn die koeffizienten-Determinante 0 ist, hat das LGS entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Keine kann es nicht haben (0,0,0) ist immer Lösung. Also hat es wenn D=0 unendlich viele Lösungen.

    Also die Koeffizientendeterminante aufstellen und 0 setzen. DAnn nach a umstellen 🙂



  • Hmm …

    Irgendwie ist die Aufgabe komisch.
    Wenn dein ausmultiplizieren oben stimmt, wovon ich jetzt einfach mal ausgehe, dann ist entweder a^2 = 0 oder s = 0. Für letzteres folgt ziemlich direkt, dass r und t auch 0 sind wenn a^2 ≠ 0 ist.
    Ist a^2 = 0 => a = 0, dann folgt auch s = 0 und r = -t.
    Das sind alle Lösungen.

    Dass die Vektoren für a=0 linear abhängig sind sieht man aber auch ohne großartige Rechnung, weil dann der erste und der letzte einfach gleich sind 😉

    Sicher, dass die Aufgabe so gestellt war?



  • danke euch beiden mal für die antworten!

    .filmor schrieb:

    Sicher, dass die Aufgabe so gestellt war?

    ja da bin ich sicher, vielleicht sollte man aber auch nur genau das herausfinden, was ihr vorgeschlagen habt. ich werd' nochmal nach ner aufgabe gleichen typs suchen nur um sicherzugehn und wenn ich sie nicht selbst lösen kann nochmal posten.



  • ok, hab noch eine gefunden:

    (1)  (2)  (3)
     1    2    1
     a    8    1
     a²  18    1
    

    das lgs lautet dann:

    r   + 2s  + t = 0
    ar  + 8s  + t = 0
    a²r + 18s + t = 0
    

    zuerst rechne ich gl. 1-2, dann 1-3, um bei beiden t rauszukriegen. danach erhalte ich zwei gleichungen 4 und 5, beide so multiplitzieren, dass nachher s rausfällt, dann 4-5. dann erhalte ich (quad. gleichung) * r. mit der mnf die nullstellen suchen, also so, dass der faktor vor r = 0 wird. komischerweise erhalte ich dann für a zwei lösungen, was eigentlich nicht sein kann, stimmen aber auch beide nicht also hab ich mich warscheinlich verechnet. wie muss ich rechnen 😞



  • Offensichtliche Lösung ist a = 1, also die solltest du beim Lösen auf jeden Fall rausbekommen.

    Ansonsten empfehle ich dir auch das oben vorgeschlagene Verfahren.



  • Reicht es da nicht die Determinante der Matrix mit den 3 Vektoren als Spalten gleich 0 zu setzen?

    l.a. <=> Rang Matrix < 3 <=> Determinante Matrix = 0



  • Also ich habe die Vorgehensweise von Ben04 benutzt und ich komme zu der Lösung dass die Vektoren linear abhängig sind, wenn a den Wert 1 oder 4/3 annimmt.

    Dazu habe ich die Determinate von der Vektor-Matrix mittels dem Laplacescher Entwicklungssatz http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_(Mathematik) berechnet. Ich komme dabei auf eine Determinante von (-6a^2 + 14a - 8). Und da gilt dass die Vektoren linear abhängig sind, wenn die Determinate der Vektor-Matrix gleich 0 ist, habe ich diesen Wert auf 0 gesetzt.

    Deswegen können mehrere Lösungen rauskommen, da der Ausdruck für die Determinate von a bzw a^2 abhängt. Generell gilt dass die höchste vorkommende Potenz in der Vektor-Matrix die Anzahl der möglichen Lösungen wiederspiegelt.



  • Bitte ein Bit schrieb:

    Deswegen können mehrere Lösungen rauskommen, da der Ausdruck für die Determinate von a bzw a^2 abhängt. Generell gilt dass die höchste vorkommende Potenz in der Vektor-Matrix die Anzahl der möglichen Lösungen wiederspiegelt.

    Bist du dir sicher? Für welche a wird diese Matrix singulär (d.h. det = 0):

    ( a 0 0 )
    ( 0 a 1 )
    ( 1 1 a )
    


  • Hast Recht, das Ergebnis ist hier natürlich 1, -1 und 0.

    Es kommt halt auf den Grad des Determinatenpolygons an.



  • bei der matrizen/determinanten geschichte steig ich nich so ganz durch. ich habs jetzt nochmal mit einem lgs probiert. kann es sein, dass die vektoren für a=1 und a=5/3 lin. abhängig sind?

    Bitte ein Bit schrieb:

    Also ich habe die Vorgehensweise von Ben04 benutzt und ich komme zu der Lösung dass die Vektoren linear abhängig sind, wenn a den Wert 1 oder 4/3 annimmt.

    würde mit der lösung nicht übereinstimmen.



  • Bitte ein Bit schrieb:

    Ich komme dabei auf eine Determinante von (-6a^2 + 14a - 8).

    det ist -6a^2+16a-10. Dann kommst du auch auf 1 und 5/3 als Nullstellen.

    bei der matrizen/determinanten geschichte steig ich nich so ganz durch.

    Determinante berechnen, gleich 0 setzen und auflösen.


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