Grad eines Polynoms
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
Was ist K[[X]] denn für ein Ring?
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Der Potenzreihenring in einer Variable über K.
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@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. Für alle Polynome außer dem Nullpolynom kann man, indem man sich die höchste Potenz mit Koeffizient ungleich 0 anschaut, den Grad angeben. Das ist soweit klar und auch wohldefiniert. Ich habe lediglich plausibel gemacht (bzw. es versucht), wieso -∞ eine vernünftige Definition für den Grad des Nullpolynoms ist. Das folgt nicht aus der Definition der Nicht-Nullpolynome, ist aber wenigstens konsistent damit.
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.filmor schrieb:
Eigentlich haben Polynome immer endlichen Grad (bis auf das Nullpolynom natürlich). Wenn man auch Potenzreihen zulässt, dann betrachtest du den Ring K[[X]] statt K[X].
bei Potenzreihen ist es sinnvoll, als den Grad die höchste X-Potenz, die die Reihe teilt, zu nehmen (sinnvoll z.B. im Sinne der Bewertungstheorie oder für einen analogen Beweis des Hilbertschen Basissatzes)
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Jester schrieb:
@Werner: Ich verstehe Deinen Einwand nicht so ganz. ...
Ich glaube meine Verwirrung und auch der Grund der Frage von Chuck ist damit zu begründen, dass ich (bzw. wir) bisher nicht zwischen einem Polynom 0'ter-Ordnung und der Ordnung des Nullpolynoms unterschieden habe.
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Gruß
Werner
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Werner Salomon schrieb:
Wenn ich's recht überlege, gibt es ein Polynom P_0 = a_0; a_0 != 0 mit deg(P_0) = 0 und das Nullpolynom P_null = 0 mit deg(0) = -∞. Wenn das so stimmt, dann habe ich es verstanden.
Ja, das stimmt so.