Äquidistante Punkte
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Hallo!
Ich habe mir folgende Aufgabe überlegt.
Konstruiere eine Menge P von n unterschiedlichen Punkten, so dass diese Punkte alle gleich weit voneinander entfernt sind (euklidischer Abstand). Mit anderen Worten:Für alle a, b, c, d aus P:
a ≠ b Λ c ≠ d → d(a, b) = d(c, d)Nun ist das für n = 3 ja einfach, nämlich ein gleichseitiges Dreieck.
Für n > 3 fällt mir aber nichts ein. Geht das da überhaupt noch? Wenn nicht: lässt sich das irgendwie beweisen?
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Naja, das höherdimensionale Analogon zum Dreieck bzw. Tetraeder halt.
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für n=4 muss man die dritte Dimension zur Hilfe ziehen (Tetraeder). Ich vermute mal, dass man für fünf Punkte vier Dimensionen benötigt. Für sechs Punkte fünf dimensionen etc.
P.S.:"a ≠ b Λ c ≠ d " ds fehlt noch das b ungleich c sein muss
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Wieso "muss"? Das tolle ist ja, dass man wenn man mehr Dimensionen nimmt man eine weitere solche Menge dazu bekommt. Die Konstruktion ist dann auch ganz simpel. Man nimmt sich die vorherige Menge (aus dem n-1-dimensionalen) und setzt sie in den neuen Raum. Dort hat man genau einen Freiheitsgrad mehr, den nutzt man dann rigoros aus, indem man von der "Mitte" der Menge in diese Richtung gerade soweit geht, dass der Abstand wieder stimmt. Da man von der Mitte losgegangen ist, ist der Abstand zu allen gleich, damit ist die Bedingung auch für die neue Menge erfüllt.
Man fängt im 1-dimensionalen mit einer beliebigen zweielementigen Menge an. Mit der Vorschrift oben kommt man dann zum Dreieck, entsprechend zum Tetraeder und in jeder weiteren Dimension zu einer weiteren Menge mit der Eigenschaft.