Frage zur Quadratischen Ergänzung.
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Hallö'chen,
ich hab da mal eine Frage zur Quadratischen Ergänzung und zwar im Zusammenhang aus einer Quadratischen Gleichung ein Binom zu machen, wie das alles funktioniert weiß ich ja:Quadratische Gleichung f(x): f(x) = [u]x² - 2x[/u] - 1 Ergänzung: [u]x² - 2x[/u], entspricht der 2. Binomishcen Formel(wegen dem Minus) a² - 2a*b + b² (x - 1)² => x² - 2x [b]+ 1[/b], da ja nun eins zu viel ist muss ich das im Ausdruck abziehen f(x) = (x - 1)² - 1 - 1, also - 2 f(x) = (x - 1)² - 2 ===================Das Schema ist ja immer das selbe, aber wieso nimmt man immer die ersten beiden Terme?
Und was wäre, wenn die Funktion so hieße f(x) = x² - 2x + 1, könnte ich dann gleich das Binom so zusammen fassen oder müsste ich die Ergänzung trotzdem wieder mit den ersten beiden Termen machen?Gruß Tobi
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Mach' das doch einfach mal stur nach Schema. Dann wirst du merken, dass die +1 wegfällt.
Und wenn du sofort erkennst, dass man das wegen der 2ten binomischen Formel
zusammenfassen kann, dann nennt man das Lösen durch scharfen Hinsehen
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S0rry, aber eine große Hilfe war der Kommentar jetzt nicht und auch keine Antwort auf meine Frage?!
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Was soll man dazu schon sagen?
Am Ende zählt nicht, wie du es machst, sondern, dass du es richtig machst. Ein
starren Schema kann helfen, aber auch Erfahrung (wie eben das Erkennen einer
Binomischen Formel) ist ein legitimer Lösungsweg.Die formale Antwort auf "warum nur die ersten beiden Terme", lautet, "weil
quadratische Ergänzung so definiert ist".Um Dir aber auch ein Beispiel zu geben.
Eine Gleichung zweiten Grades formt man so um, dass man Erkennen kann was für
einen geometrischen Körper sie darstellt. Dieses Umformen beinhaltet auch die
quadratische Ergänzung, um die lineraren Terme zu entfernen. Das Stichwort
hierfür lautet Hauptachsentransformation.
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Quadratische Ergänzung wird unter anderem dazu benutzt, um ablesen zu können, wie die Parabel in der Ebene liegt, also die Position des Scheitelpunktes.
Parabeln, die aus der dritten binomischen Formel entstehen, also zum Beispiel y = x² - 4 haben ihrem Scheitelpunkt auf der y-Achse (also x = 0), und die y-Koordinate läßt sich direkt ablesen (in diesem Fall -4).
Im Falle der ersten beiden Gleichungen ist der Scheitelpunkt aber nach links bzw. rechts verschoben, deswegen macht man das.
Ich hoffe, daß deine Frage sich darauf bezog.
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T0bi schrieb:
Das Schema ist ja immer das selbe, aber wieso nimmt man immer die ersten beiden Terme?
Weil die Vorzeichen dort angeben, ob es sich um (x - a)^2 oder um (x + b)^2 handelt.
T0bi schrieb:
Und was wäre, wenn die Funktion so hieße f(x) = x² - 2x + 1, könnte ich dann gleich das Binom so zusammen fassen oder müsste ich die Ergänzung trotzdem wieder mit den ersten beiden Termen machen?
Wenn Du sofort die Lösung siehst, also gewissermaßen "die binomischen Formeln rückwärts rechnen" kannst, ist das natürlich völlig in Ordnung.
Die Idee ist einfach, etwas so hinzuschreiben, daß es für einen bestimmten Zweck besser aussieht. Du änderst ja eigentlich nichts, denn f(x) = x^2 - 2x - 1 beschreibt ja die gleiche Kurve wie f(x) = (x - 1)^2 - 2.
Dazu schreibt man eben (x - 1)^2 hin, tut so, als sei es richtig. Dann sieht man, wenn man es ausmultipliziert, daß es doch nicht richtig ist, und dann biegt man es mit dem -2 wieder richtig hin.
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Jo so und nicht anders wollt ich es ja hören, nur noch mal ne Bestätigung dafür, dass das halt immer so gemacht wird. Danke sehr.
Tobi