Dreiecks-Schwerpunkt

Badestrand

Hi!

Ich hab da vorhin über etwas nachgedacht und es will mir nicht aus dem Kopf. Die Lösung ist wahrscheinlich mega-einfach, ich hab auch eine Vermutung, bin mir aber halt nicht 100% sicher.
Also, ich habe ein Dreieck ABC, in dessen Mitte (irgendwo) sich ein Punkt M befindet. Die Summe der Entfernungen von den Ecken zu diesem Punkt (also |AM|+|BM|+|CM| ) soll minimal sein - welchen Punkt muss ich da nehmen? Den Schwerpunkt?

Den Mittelpunkt des umschriebenen vierschenkligen Dreieckes.

Du suchst das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Fermat_Punkt

Badestrand

Jippi, das ist er! Danke dir

Badestrand

Another one: Bei vier Punkten scheint es so zu sein, dass man zwei Punkte irgendwo in der Mitte des Vierecks benötigt, um alle vier Punkte minimal zu verbinden. Ich hab's mal skizziert, die Schwarzen Punkte bilden mein Viereck.
Nunja, es scheint auch so zu sein, jedenfalls beim experimentieren, dass alle 6 Winkel bei den roten Mittelpunkten exakt 120° sein müssen, um das Minimum zu erhalten (die 120° scheinen mir auch wegen dem Fermat-Punkt plausibel). Nur: Ich habe keine Ahnung, wie ich rechnerisch die zwei Punkte bestimmen kann. Nicht zuletzt deshalb, weil ich nicht weiß, wie diese heißen, Google ist ohne die richtigen Schlüsselwörter ja leider auch nicht zu gebrauchen (Semantik Web, ich erwarte dich sehnlichst!).

Mir würde völlig reichen, zu wissen, wie die Punkte heißen oder am Besten natürlich, wie ich sie bestimmen kann.

Dank und abendliche Grüße,
Badestrand

PS: Ich meine ein nicht-konvexes Viereck.

Badestrand

Mist, ich meine doch ein konvexes, ich würfel das immer durcheinander. Also ein "einfaches" Viereck...

mcr

Ich glaube was du suchst ist bekannt unter:
euklidisches Steinerbaum Problem

Gruß mcr

Badestrand

mcr schrieb:

Ich glaube was du suchst ist bekannt unter:
euklidisches Steinerbaum Problem

Gruß mcr

Ok, danke dir Allerdings bin ich vorhin selbst noch drauf gestoßen. Scheint ziemlich schwierig zu sein das Ganze, es gibt aber zum Glück einiges an Material zu

Werner Salomon

Badestrand schrieb:

Mist, ich meine doch ein konvexes, ich würfel das immer durcheinander. Also ein "einfaches" Viereck...

Hallo Badestrand,

Vorschlag einer Eselsbrücke:
konvex ist das Gegenteil von konkav -> kommt von concavus -> con cavus -> cave -> caveman -> Höhlenmensch.
Also konkav ist das das mit der Höhle, demzufolge ist konvex das mit dem Bauch.

Mir ist auch eine Konstruktion für Dein Problem mit vier Punkten eingefallen. Das funktioniert so ähnlich wie beim Fermatpunkt.
Da seinen 4 Punkte A, B, C und D. Über zwei gegenüberliegenden Paaren - z.B. AD und BC - konstruiere man jeweils ein gleichseitiges Dreieck derart, dass das Dreieck jeweils außerhalb des Vierecks ABCD liegt. Man bekommt den neuen Dreieckspunkt E über AD und F über BC. Jetzt zeichne man den Umkreis e von ADE und den Umkreis f von BFC. e schneidet die Verbindung EF in S1 und f schneidet EF in S2.
S1 und S2 sind die gesuchten Punkten, die ABCD mit einer minimalen Länge verbinden. (lokales Minimum) Das ganze kann man jetzt auch auch mit dem anderen Punktepaaren AB und CD machen und vergleiche die beiden gefundenen Lösungen miteinander.
Wobei noch zu beachten ist, dass S1 und S2 innerhalb des Vierecks ABCD liegen müssen. Liegt z.B. S2 derart außerhalb, dass BC S1S2 schneidet, so wird S2 zu C und S1 wird zum Fermatpunkt von ACD.

Wenn Du Deinem Problem eine Dimension hinzufügst, so ist das unter dem Begriff 'Minimalflächen' zu finden.

Gruß
Werner

Badestrand

Hey, die Eselsbrücke ist zwar etwas umständlich, aber vielleicht klappts

Deinen Lösungsvorschlag probiere ich die Tage mal aus (morgen fängt Uni wieder an), hört sich jedenfalls gut an! Sag mal, ist dir das einfach so eingefallen? Ich hab hier knapp 15 Zettel liegen, alle randvoll gekritzelt mit irgendwelchen Ansätzen und ellenlangen Rechnungen, ist aber nix sinnvolles bei rumgekommen..

Werner Salomon schrieb:

Wenn Du Deinem Problem eine Dimension hinzufügst, so ist das unter dem Begriff 'Minimalflächen' zu finden.

Nene, zwei sind erstmal mehr als genug