4. formelumforumungen

formelumforumungen

  • M

    Erste Woche Analysis 1: Der Körper der reellen Zahlen muss irgendwie eingeführt werden. Gruppen braucht man dagegen nicht.

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  • ?

    ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor

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    ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor

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    ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor

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    ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor

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    ohne (R,+) stelle ich mir eine Analysis aber schwierig vor

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  • M

    Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?

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  • M

    Michael E. schrieb:

    Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?

    Um auch mal was beizutragen:
    R ist kein Körper sondern eine Menge. Ein Körper ist zumindest mal ein Tripel, aus einer Menge und 2 binären Verknüpfungen (+ weitere Eigenschaften)

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  • Y

    Wenn wir jetzt anfangen zu nitpicken, dann ist auch das Tupel (ja, man sollte hier nicht mit Tripeln arbeiten) $$(\mathbb R,+,\cdot,0,1)$$ eine Menge...

    Wenn wir allerdings nicht nitpicken, dann können wir vom Körper R sprechen und uns den Rest denken.

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  • M

    Ein Tupel ist aber keine Menge. Ein Tupel ist geordnet eine Menge nicht.
    In einer Diskussion in der es darum geht ob 2==0 ist, kann man durchaus "nitpicken" 😃

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  • Y

    Natürlich ist ein Tupel eine Menge. Üblicherweise setzt man

    (a,b) = \{a, \{a,b\}\}$$ und $$(a\_1,\dots,a\_n) = ((a\_1,\dots,a\_{n-1}),a_n)$$. Das tut genau, was man will. Die Frage ob 2=0 gilt, hängt natürlich davon ab, was man mit 2 meint. Betrachtet man einen Ring R, so hat man immer genau einen Ringhomomorphismus $$\mathbb Z\to R$$ und man kann damit von 2, 3, 4, etc. in R sprechen. Und dann stellt sich heraus, dass dieser Homomorphismus für manche Ringe nicht injektiv ist. Dann gilt dort plötzlich n=0 für irgendeine ganze Zahl n ungleich. Klingt komisch, und ist deswegen auch interessant. Das kleinste nichtnegative solche n heißt überigens die Charakteristik von R. Und weil nicht alle Ringe die gleiche Charakteristik haben, sagt man auch besser: Es gilt 2=0 in Ringen mit Charakteristik 2 und 1 (und sonst in keinen).
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  • ?

    Weshalb genau brauchst du Anfang des ersten Semesters (R,+), wenn du bereits den Körper R hast?

    wieso ich? Ich hab' den Körper R nicht - wie kommst Du darauf? 😮

    Version 1 - ohne Gruppe: 

"Def.: Ein Körper ist ein Tupel (R,+,*) mit folgenden Eigenschaften: 
1. Für jedes x exist y mit x+y=y+x=0
2. x+(y+z)=(x+y)+z
3. x+0=x
4. Bla
5. Für jedes x exist y mit x*y=y*x=1
6. x*y=y*x
7. Bla
8. x*1=x
9. (x+y)z=xz+yz"

    Version 2 - mit Gruppe: 

"Def.: Ein Körper ist ein Tupel (R,+,*) mit: 
1. (R,+) ist abelsche Gruppe, 
2. (R,*) ist abelsche Gruppe, 
und es gilt das Distributivgesetz."

    gut aufpassen bitte, jetzt kommt die Frage: 😃

    welche dieser zwei Definitionen ist eleganter?

    Ist es a) Version 1, oder doch eher b) Version 2. Knifflig, knifflig - die Zeit läuft 🙂

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  • Y

    Version 3: Ein Körper k ist ein Integritätsring mit $$k^\times = k\setminus{0}$$.

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  • M

    !rr!rr_: Erstmal: Deine zweite Definition ist falsch :p Desweiteren ist sie nichtssagend, wenn man den Begriff Gruppe nicht kennt.

    Ansonsten bleibt mir nichts weiter zu sagen, als dass du dir nochmal den Thread durchlesen solltest. Ich hab dich darauf hingewiesen, dass es Definitionen von Körpern gibt, bei denen Gruppen nicht explizit erwähnt werden. Ich hab dir sogar noch nen Grund genannt, warum es Sinn macht, diese Definitionen zu verwenden. Was genau dein Problem daran ist, habe ich bis jetzt nicht verstanden.

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  • ?

    Michael E. schrieb:

    !rr!rr_: Erstmal: Deine zweite Definition ist falsch :p

    ich weiß, aber ich war zu faul, wegen eines $$\ast$$ nachzuposten.

    Michael E. schrieb:

    !rr!rr_: Erstmal: Deine zweite Definition ist falsch :p
    Desweiteren ist sie nichtssagend, wenn man den Begriff Gruppe nicht kennt.

    Das ist richtig.

    letztlich kann man alles auf immer grundlegendere Schreibweisen und Tatsachen zurückführen, bis man bei den Axiomen und nicht mehr weiter verallgemeinerbaren Grundschreibweisen ankommt.

    1+1

    heißt dann:

    {{∅},∅}+{{∅},∅}={{{∅},∅},∅}\{\{\emptyset\},\emptyset\}+\{\{\emptyset\},\emptyset\}=\{\{\{\emptyset\},\emptyset\},\emptyset\}

    - aber ich finde 1+1=2 intuitiver. und die Körperdefinition griffiger, wenn man die zwei Gruppeneigenschaften nicht ausschreiben muß.

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