4. Volumen eines liegendes Kreiszylinders bei Füllhöhe h

Volumen eines liegendes Kreiszylinders bei Füllhöhe h

  • P

    Hi,
    Ich soll als Aufgabe den Füllstand eines liegenden Zylinders mit der Höhe h, länge L und Durchmesser D bestimmen. Bei Wikipedia etc. gibt es dazu ja einen Haufen Formel, aber ich will sie auch verstehen/selber herleiten.
    Soweit bin ich:

    V = L * Kreissekment
V = L * (Kreissektor - Dreieck)
V = L * ([e]alpha[/e]/360° * r² * [e]pi[/e] - s(r - h) / 2)

    Damit wäre die Aufgabe prinzipiell gelöst, jedoch fehlt mir dazu der Winkel etc.
    Bei Wikipedia stehen viele Formeln dazu, aber leider keiner Erklärungen. Kann mir jemand erklären wie man auf die Formel mit arcsin bzw. arccos kommt?
    Mir viele ein paar mögliche Lösungen mit Satz des Pythagoras ein, aber alle sahen der bei Wikipedia überhaupt nicht ähnlich.
    Danke!

    Hier der Wikipedia Link(mit Bild und Beschriftungen): http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

    0
  • C

    Du nimmst die Strecke s(h) (in abhängigkeit der höhe) und integrierst von 0 bis zur Füllhöhe h. Und schon hast du die Fläche.

    Es ist mir allerdings noch zu früh am Morgen um das genauer auszuführen. Vieleicht schreib ich heute Abend noch mehr dazu (wenn es bis dahin nicht schon jemand getan hat)
    Hoff ich konnte dir ein bischen helfen.

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  • M

    Hallo Pille456,

    ich versuche mich mal daran, dir hierbei zu helfen.

    Ich gehe mal von dem Bild auf Wikipedia aus, und zeige dir,
    wie man die gelbe Fläche bestimmt. Wenn du diese kennst, kannst
    du die anderen Fälle in deinem Problem leicht berechnen.

    Zuerst einmal nehmen wir an, dass wir nur einen Halbkreis haben.
    Parallel zur Strecke s durch den Punkt M verläuft dann der Abschluss
    vom Halbkreis. Nennen wir diese Strecke mal g.

    Zwischen der Strecke g und MB gibt es einen Winkel β.
    Der selbe Winkel ist zwischen den Strecken g und MA.

    Zusammen mit dem Winkel α gilt: 2β+α=180°

    D.h. Wenn wir den Winkel β kennen, können wir α berechnen
    durch: α=180° - 2β

    Nun bestimmen wir den Winkel β:
    Die Höhe von B auf g bezeichnen wir mal mit h' und es gilt: h' = r - h.

    Nun kommt der Sinus ins Spiel, der definiert ist durch: Gegenkathete / Hypotenuse.
    Also in unserem Fall: sin(β) = h'/r
    Also gilt für β: β = arcsin(h'/r)

    Nun bestimmen wir die Länge der Strecke s:
    Wenn wir eine Gerade von M ausgehend senkrecht zu g einzeichnen, zerteilt
    diese Gerade die Strecke s in zwei gleich große Teile.
    Hier kommt nun der Cosinus ins Spiel: cos(β) = (½s)/r
    Umgestellt nach s ergibt sich dann: s = 2r cos(β)

    Nun haben wir alle Größen, die wir brauchen. Was noch bleibt sind die
    Formeln zur Berechnung von Flächen:

    Fläche des Kreisausschnitts: α/360° π r²
    Fläche des Dreiecks MBA: ½s h'

    Flächeninhalt der gelben Fläche: α/360° π r² - ½s h'

    Dies ist also die Formel für den Flächeninhalt, wenn dein ursprüngliches
    h (Höhe) kleiner als D/2 ist.

    Für die beiden anderen Fälle: h=D/2 und h>D/2 kannst du dir damit selbst
    die Fläche ausrechnen.

    Ok, für das Volumen mußt die den Flächeninhalt noch mit L multiplizieren.

    Gruß mcr

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  • P

    Wow, danke sehr!
    Sehr ausführlich und dadurch leicht verständlich. Danke!

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