Gleichung auflösen

Pille456

Hi,
Ich darf gerade mal wieder Schularbeiten machen und hab hier gerade ne ziemlich komische Aufgabe:

Eine Metallleiste der Länge a wird auf zwei Punkte A und B gelegt. Dabei biegt sie sich durch. Der Biegungsgrad kann mit der Funktion: f(x) = (1/1000)(-x^4 + 2a*x^3 - x*a^3) angegeben werden. 
Nun soll ich die maximale Durchbiegung für verschiedene Längen a berechnen.

Eigentlich recht einfach, 1+2Ableitung bilden und Extremstellen berechnen.
Nun wollte ich die Notwendige Bedingung für innere Extremstellen (also f'(x) = 0) allgemein für a berechnen und dann später einsetzen. Aber ich schaff es einfach nicht die 1. Ableitung nach x aufzulösen:

Notwendige Bedingung für innere Extremstellen: f'(x) = 0
0 = (1/1000)(-4x³ + 6ax² - a³)
0 = -4x³ + 6ax² - a³
und nun?

loose

x ausklammern
edit: oh verdammt, zu voreilig...
erst denken, dann schreiben

hi, obda a=1, x=0.5 ?

Pille456

..,- ??
Also ich will ja eben keine Zahl für "a" einsetzen, sondern nur nach x auflösen
sodass ich da etwas stehen habe wie:
x = 25a+8a² oder so

Ben04

Per CAS:
x = a*(1+sqrt(3))/2 oder x = a*(1-sqrt(3))/2 oder x = a/2

Per Hand:
Einsetzen zeigt, dass alle 3 Werte die Gleichung lösen. Der Fundamentalsatz der Algebra liefert, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.

Wenn Einsetzen dir zu billig ist kannst du auch mit der Lösungsformel draufhauen. Dies ist aber auch einiges an Rechnerei.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung

Alternativ kannst du auch behaupten x = a/2 geraten zu haben und die Gleichung auf eine des zweiten Grads durch Polynomdivision zurückführen.

Pille456 schrieb:

Hi,
Ich darf gerade mal wieder Schularbeiten machen und hab hier gerade ne ziemlich komische Aufgabe:
Eine Metallleiste der Länge a wird auf zwei Punkte A und B gelegt. Dabei biegt sie sich durch. Der Biegungsgrad kann mit der Funktion: f(x) = (1/1000)(-x^4 + 2a*x^3 - x*a^3) angegeben werden. 
Nun soll ich die maximale Durchbiegung für verschiedene Längen a berechnen.
Eigentlich recht einfach, 1+2Ableitung bilden und Extremstellen berechnen.
Nun wollte ich die Notwendige Bedingung für innere Extremstellen (also f'(x) = 0) allgemein für a berechnen und dann später einsetzen. Aber ich schaff es einfach nicht die 1. Ableitung nach x aufzulösen:
Notwendige Bedingung für innere Extremstellen: f'(x) = 0
0 = (1/1000)(-4x³ + 6ax² - a³)
0 = -4x³ + 6ax² - a³
und nun?

Hast du noch mehr solcher Aufgaben, die sind Köstlich