Gruppen, Verknüpfungstafel

Hallo,

Wir haben einige Mathe Aufgaben von unserem Prof bekommen, zu den Themen, die wir bisher "durchgenommen" haben. Unser Prof liest leider immer nur die extrem unverständlichen Erklärungen aus dem Mathebuch vor und bringt die kompliziertesten Beispiele zur Veranschaulichung. Ich habe mir schon so viel wie möglich über Wikipedia und andere Quellen angeeignet, aber ich bin bei seinen Aufgaben trotzdem größtenteils ziemlich ratlos;

Ich habe hier eine Aufgabe zu algebraischen Strukturen und zwar zu Gruppen. Gegegen ist eine Verknüpfungstafel, mit einigen eingetragenen Werten und man soll die restlichen Felder ausfüllen. Wie komme ich denn von diesen Werten auf die Verknüpfungsoperation der Gruppe schließen? Könnt ihr mir da einen Tip geben oder erklären, wie man an sowas rangehen kann?

Hier ist die Aufgabe: http://i34.tinypic.com/ziq9u8.jpg

Vielen Dank!

Ganz einfach: aus der Tafel sieht man sofort, dass a0 das neutrale Element ist, damit kannst du schon einmal sehr viele Felder ausfüllen. Von zwei anderen Elementen weißt du, dass sie invers zueinander sind und du weißt, dass ein inverses Element sowohl rechts- als auch linksinvers ist. Damit kannst du zwei weitere Felder ausfüllen.

Damit hast du schon genug um fast nicht mehr raten zu müssen. Der Rest ist einfach wie Sudoku, schau einfach, dass in jeder Spalte und jeder Zeile jedes Element genau einmal steht. Dann hast du am Ende auch eine Verknüpfung.

Christoph

Kein Plan schrieb:

Wie komme ich denn von diesen Werten auf die Verknüpfungsoperation der Gruppe schließen? Könnt ihr mir da einen Tip geben oder erklären, wie man an sowas rangehen kann?

Du musst Schritt für Schritt versuchen, die leeren Felder einzutragen. Zum Beispiel steht in der Tafel schon, dass a_0 * a_0 = a_0 ist. Daraus kannst du mit Hilfe der Gruppen-Axiome beweisen, dass a_0 das neutrale Element sein muss. Dann kannst du die Spalte und die Zeile von a_0 schonmal komplett ausfüllen.

Wenn du dann irgendwo in der Tafel a_0 stehen hast bei einem Produkt a_i * a_j, dann muss auch a_j * a_i = a_0 gelten, weil a_0 das neutrale Element ist. Daraus kannst du z.B. direkt a_5 * a_4 = a_5 * a_4 = a_0 gewinnen.

Der Rest ist wie beim magischen Quadrat: in jeder Zeile und in jeder Spalte müssen jeweils alle Elemente genau einmal vorkommen. Das kannst du dann also versuchen so auszufüllen wie du ein magisches Quadrat lösen würdest. Falls du mehr als eine Lösung bekommst, wird es umständlicher, dann musst du die Lösung rauspicken, die * assoziativ macht.

edit: Ich meine "Sudoku" und nicht unbedingt das, was man laut Wikipedia unter "Magischem Quadrat" versteht.

Aha, ich war mir nicht sicher, ob a0 das neutrale Element sein muss. Vielen Dank, das hilft mir schonmal sehr weiter