Bestimmen von Folgenglieder einer Zahlenfolge

[Golem234]

Hallo,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Per Definition gilt a₁:= 1 und a_n+1:= 1/2(a_n+2/a_n, nε |N. Bestimme nun die Folgenglieder a_n für n=2,3,4,5.

Ich verstehe nicht ganz, was der Aufgabenersteller nun von mir möchte, denn:

a₂=1/2(a₂+2/a₂)

usw. wäre ein bisschen zu einfach
Kann mir jemand bitte auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank schonmal

[Christoph]

Golem234 schrieb:

Per Definition gilt a₁:= 1 und a_n+1:= 1/2(a_n+2/a_n, nε |N. Bestimme nun die Folgenglieder a_n für n=2,3,4,5.

Ich verstehe nicht ganz, was der Aufgabenersteller nun von mir möchte, denn:

a₂=1/2(a₂+2/a₂)

Hast du dich in der Zeile vertippt? Laut deiner Definition ist a₂ = 1/2(a₁+2/a₁) = 1/2(1 + 2/1) = 2/3.

Ich würde auch sagen, dass das nur auf Ausrechnen hinausläuft.

[Ein ehemaliger Benutzer]

ist doch ein recht einfacher rekursiver algo wenn ich das so richtig verstanden hab. was ist jetzt nochmal die aufgabe? wenns nix mit dem pc zu tun hat wirst du wohl einfach durchrechnen müssen. viel spass

[Golem234]

Christoph schrieb:

Hast du dich in der Zeile vertippt? Laut deiner Definition ist a₂ = 1/2(a₁+2/a₁) = 1/2(1 + 2/1) = 2/3.

Müsste das Ergebnis nicht: 1/2(1+2/1)= 3/2 sein?
Ich bin mir bei meiner hingeschriebenen Definition nicht so sicher gewesen, aber ich denke, die ist so richtig.
Mein Verständnisproblem wird bei der nächsten Aufgabe vielleicht deutlicher:
Ich muss die folgende rekursiv definierte Folge in eine nicht-rekursive Form bringen:

f(1)=2 und f(n+1):=f(n)+f(1)

Im ersten Moment würde ich als Ergebnis: f(n+1):=f(n)+2 hinschreiben. Aber ich hab das Gefühl, das ist total falsch. Auf der anderen Seite, weiß ich nicht, wie die Folge weitergehen kann (also f(2)=3,f(3)=4 usw.... oder vielleicht ist das die Folge von Primzahlen, dann wäre es f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7 usw.). Weil ich nicht sagen kann, wie die Folge weitergeht, kann ich m.E. auch nicht die Form allgemein hinschreiben, ich steh auf dem Schlauch

[Jester]

Die Folge ist doch vollständig beschrieben. Du kennst f(1). Mit Hilfe der Rekurrenz kannst Du nun f(2) bestimmen, dann f(3) usw. mach mal die ersten 5 und schau ob Du einen verdacht bekommst, wie man f(n) hinschreiben kann, ohne wieder ein f(...) zu benutzen.

[Christoph]

Golem234 schrieb:

Christoph schrieb:

Hast du dich in der Zeile vertippt? Laut deiner Definition ist a₂ = 1/2(a₁+2/a₁) = 1/2(1 + 2/1) = 2/3.

Müsste das Ergebnis nicht: 1/2(1+2/1)= 3/2 sein?

Ja, du hast Recht.

[Golem234]

Jester schrieb:

Die Folge ist doch vollständig beschrieben. Du kennst f(1). Mit Hilfe der Rekurrenz kannst Du nun f(2) bestimmen, dann f(3) usw. mach mal die ersten 5 und schau ob Du einen verdacht bekommst, wie man f(n) hinschreiben kann, ohne wieder ein f(...) zu benutzen.

Ah, danke für den Hinweis. Ich glaube, ich hab's jetzt:

f(n+1):=f(n)+f(1)
..
f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4
f(3)=4+2=6
f(4)=6+2=8

Das bedeutet, das Ergebnis wäre dann: f(n)= n * 2

Richtig?

[Jester]

Das klingt nach einer vernünftigen Vermutung. Jetzt kannst Du Deine Vermutung mit vollständiger Induktion beweisen, um ganz sicher zu gehen.