exponentialreihe approximieren
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hi,
kann ich den ausdruck 1 - sum_{i=0}{n}(lambdai/i!) für große n gut approximieren? (0 < lambda < 1)
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Probiere doch mal die Stirlingsche Formel http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Formel um die Fakultät abzuschätzen.
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Die Stirlingsche Formel bringt hier nicht viel. Da es eine Reihe ist muss er sowieso alle n Fakultäten nacheinander berechnen. Und ein gegebenes Resultat mal i nehmen ist wohl einfacher als Stirling für jedes Reihenglied
.@OP: Was verstehst Du unter "gut"?
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für n -> \infty geht der Ausdruck gegen 1 - exp(lambda)
Die Exponentialreihe ist die Reihendarstellung der Exponentialfunktion, daher ist dein Ausdruck für große n eine gute Approximation der Exponentialfunktion - andersrum ist die Exponentialfunktion eben eine gute Approximation des Ausdrucks.
Die Differenz zur Exponentialfunktion ist gegeben durch den Restterm zur Reihe:(Ausdruck) - (1- exp(lambda)) = exp(lambda) - (sum_0^n lambda^i/i!)
= sum_(n+1)^oo lambda^i/i!
= lambda^(n+1) sum_0^oo lambda^i/{(n+1+i)!/(n+1)!}Laut http://www.msl.uni-bonn.de/vorlesung/vermessung/skripte/math1-99.pdf S.54 gilt für den Restterm die Abschätzung R < 3* lambda^(n+1), da |lambda| < 1
Bei lambda = 0.99 und (n+1) = 1000 (was niedrig ist) ergibt das schon R < 1.28e-4