Potenzmengen
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Aufgabe:
Zeigen Sie für jede Menge M ist P(M ) = ∅.Kann das stimmen? Was ist, wenn M = ∅ ist, dann ist doch P(M ) = ∅, oder?
mfg,
m.
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mathepraktikant schrieb:
Kann das stimmen?
Nein, natürlich nicht.
Es sei denn, da stünde "ungleich".
Was ist, wenn M = ∅ ist, dann ist doch P(M ) = ∅, oder?
Nein, P({}) = { {} }.
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mathepraktikant schrieb:
Aufgabe:
Zeigen Sie für jede Menge M ist P(M ) = ∅.Du meinst ungleich statt gleich, oder?
Kann das stimmen?
Ja.
Was ist, wenn M = ∅ ist, dann ist doch P(M ) = ∅, oder?
Nein.
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ja, ich meine ungleich. na sowas, copy/paste error, sorry.
ok und wie formuliert man sowas nun mathematisch?
Wie zeige ich für jede Menge M, das gilt P(M ) ≠ ∅ ?Und wie spricht man das aus:
P({}) = { {} } ?
Heißt das in Worten: die Potenzmenge der leeren Menge ist die Menge der leeren Mengen?Kennt jemand ein Buch mit Übungen und Lösungen in dieser Richtung ?
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Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, also Element ihrer Potenzmenge (da diese als die Menge aller Teilmengen definiert ist). Es gibt also immer mindestens ein Element und somit ist sie nicht leer.
Heißt das in Worten: die Potenzmenge der leeren Menge ist die Menge der leeren Mengen?
Es gibt nur genau eine leere Menge aber ansonsten stimmt das.
Kennt jemand ein Buch mit Übungen und Lösungen in dieser Richtung ?
In welchem Mathe Fach kam diese Frage denn dran?
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das fach ist lineare algebra 1. wie formuliert man das mathematisch ?
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Das ist schon mathematisch formuliert
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haben leere mengen einen praktischen nutzen, außer mathestudenten damit zu ärgern?
als otto normaldenker würde ich sagen:
{{}} = Leere Menge = Nix
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Was heißt „praktischen Nutzen“? Sie hat einen ähnlichen Nutzen wie die Zahl 0 (ist z.B. das „neutrale Element“ der Vereinigung).
Damit gilt tatsächlich in etwa {} = Nix, aber du sagst ja auch nicht {0} ist nichts, es hat schließlich immerhin ein Element (auch wenn das selber wieder „nichts“ ist). Du darfst halt Mengen nicht einfach plätten, es gilt ja auch nicht {{2, 3}, {3, 4}} = {2, 3, 4}.
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praktikantenpraktikant schrieb:
haben leere mengen einen praktischen nutzen, außer mathestudenten damit zu ärgern?
als otto normaldenker würde ich sagen:
{{}} = Leere Menge = Nix
Ich will dir nicht widersprechen, nur will ich, dass es deutlich dasteht: {{}} ist nicht die leere Menge!
mathepraktikant schrieb:
das fach ist lineare algebra 1. wie formuliert man das mathematisch ?
Den Bosch fand ich eigentlich nicht schlecht. Ich hab ihn aber nie wirklich durchgelesen und die auf die LA Klausur hauptsächlich mit dem Skript gelernt.
Ein Buch in Richtung Mengenlehre wäre wohl eher unangebracht weil viel mehr als du jetzt schon weißt oder wissen solltest wirst du da nicht über die Potenzmengen Erfahren.
mathepraktikant schrieb:
wie formuliert man das mathematisch ?
So wie ich das formuliert habe sollte das in jeder Klausur oder Übungsaufgabe die volle Punktzahl geben.
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Ein Buch in Richtung Mengenlehre wäre wohl eher unangebracht weil viel mehr als du jetzt schon weißt oder wissen solltest wirst du da nicht über die Potenzmengen Erfahren. <<
nananana
Stichwort "Kontinuumshypothese".
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Ein Buch in Richtung Mengenlehre [...] weil viel mehr als du jetzt schon weißt oder wissen solltest wirst du da nicht über die Potenzmengen Erfahren. <<
nanananana
Stichwort "Kontinuumshypothese".
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user-l schrieb:
Ein Buch in Richtung Mengenlehre wäre wohl eher unangebracht weil viel mehr als du jetzt schon weißt oder wissen solltest wirst du da nicht über die Potenzmengen Erfahren. <<
nananana
Stichwort "Kontinuumshypothese".In deiner linearen Algebra Vorlesung wurde die Kontinuumshypothese behandelt? Mehr als eine Randbemerkung deines Profs kann ich mir diesbezüglich eigentlich nicht vorstellen.
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naja, mit der zahl 0 wird man ja quasi groß, die kennt man von der grundschule an.
die leere menge mag ja in der linearen algebra von nutzen sein, wofür auch immer. vielleicht komme ich ja noch dahinter.
danke und gruß,
m.
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unterschätzt mal die leere Menge nicht.
Abgesehen davon, daß man die Mengenlehre aufbauen kann, ohne Zahlen zu brauchen, indem man mit der leeren Menge auskommt
(Abzählung der ganzen Zahlen:
O,{O},{O,{O}},{O,{O},{O,{O}}}} ...)
ist die leere Menge sogar eine Vektorraum-Basis, nämlich die Basis des Nullraums {0}.
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Da könnte man, wenn man sich dummstellt, auch wieder fragen, wozu man das braucht. Wir sollten es einfach machen wie Pythagoras.
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Nimm die leere Menge für den Augenblick doch einfach mal hin und lass die überraschen ob sie mal wieder auftaucht
btw. eine formale Begründung:
P(M) = {N| N Teilmenge von M} (LaTeX geht nicht und C als Teilmenge finde ich verwirrend).
"Offensichtlich" gilt {} ist Teilmenge von M (Jedes Element von {} liegt ja auch in M; solche Aussagen gelten, weil es kein Element gibt das die Aussage verletzt - diesen Standpunkt nennt man die Kontraposition).Also muss {} in P(M) liegen und damit hat P(M) mindestens 1 Element und gemäß dem Extensionalitätsaxiom ist somit {} und P(M) verschieden.
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Bashar schrieb:
Da könnte man, wenn man sich dummstellt, auch wieder fragen, wozu man das braucht. Wir sollten es einfach machen wie Pythagoras.
das kann man auch dann fragen, wenn man sich schlau stellt, ne. wie macht es pütagoras?
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nee, die kontinuumshypothese gibts im mengenlehrebuch. die aussage "im buch gibts nicht mehr darueber, als in der vorlesung" sollte widerlegt werden. du hast die argumentation nicht verstanden, aber bestaetigt.
