Implikation

0. A B A->B 
--------------------
1. w w w 
2. w f f 
3. f w w 
4. f f w

die implikationen 1,2,4 finde ich unmittelbar einsichtig, bzw logisch. wie zur hölle kommt man aber auf die dritte?
gibt es dafür ein verständliches beispiel?

gruß

Christoph

mathematikpraktikant schrieb:

0. A B A->B 
--------------------
1. w w w 
2. w f f 
3. f w w 
4. f f w
die implikationen 1,2,4 finde ich unmittelbar einsichtig, bzw logisch. wie zur hölle kommt man aber auf die dritte?
gibt es dafür ein verständliches beispiel?

gruß

Du kannst z.B. den Satz anschauen "Angenommen x ist eine ganze Zahl mit x + x = 1. Dann gilt 1 + 1 = 2."

Deinem A entspricht hier "Es existiert eine ganze Zahl x mit x + x = 1", was offensichtlich falsch ist. Deinem B entspricht die Aussage "1 + 1 = 2", die wahr ist.

Die Wahrheit von B ist hier unabhängig von A, aber der Implikationspfeil fordert auch nicht, dass für B auch A gelten muss. Zugegeben, meine Argumentation klingt ein wenig nach einem Zirkelschluss. Im Prinzip ist die Idee, die dahintersteckt, eine Konvention, die sich als sehr nützlich herausgestellt halt: "ex falso quodlibet".

So gesehen ist es sinnvoll, dem zusammengestzten Satz A->B, also "Angenommen x ist eine ganze Zahl mit x + x = 1. Dann gilt 1 + 1 = 2." den Wahrheitswert "wahr" zu geben.

mathematikpraktikant schrieb:

0. A B A->B 
--------------------
1. w w w 
2. w f f 
3. f w w 
4. f f w
die implikationen 1,2,4 finde ich unmittelbar einsichtig, bzw logisch. wie zur hölle kommt man aber auf die dritte?
gibt es dafür ein verständliches beispiel?

gruß

Implikation ist definiert als ((nicht A) oder

Nach de Morgan kann man das umformen in:

(nicht(nicht((nicht A) oder B)))
(nicht(A und (nicht B)))

d.h. es ist alles erlaubt außer (A und (nicht B)) - m.a.W. "wenn A, dann B".

Ben04

Wenns du da ein f hinmachen würdest, dann wäre -> symmetrisch (und damit eine Äquivalenz).

PeterTheMaster

deine frage an sich ist nicht schluessig. du hast die defition von implikation hingeschrieben und festgestellt, dass diese nicht auf die implikation zuzutreffen scheint. von welcher definition von implikation gehst du denn fuer diese feststellung aus?

Mir war nicht klar, warum die dritte Zeile gilt:

3. f w w

Ich hätte da f w f draus gemacht.

Ben04

Ein weiteres Beispiel das die Definition rechtfertigen dürfte:

Sei M eine Menge von natürlichen Zahlen.
A:Für alle m aus M gilt 4 teilt m
B:Für alle m aus M gilt 2 teilt m

Unabhängig vom Wahrheitsgehalt von A und B gilt, dass wenn A gilt dann gilt auch B also ist A=>B wahr.

Wenn M nun die Menge aller Vielfachen von 2 ist dann ist B wahr und A falsch und A=>B gilt immer noch.

PeterTheMaster

die frage der gueltigkeit stellt sich doch bei einer definition nicht.
das ist so, wie wenn ich sage "sei x eine natuerlich zahl", und du sagst "warum ist x eine natuerliche zahl? das verstehe ich nicht.".
verstehste?

mathematikpraktikant schrieb:

Mir war nicht klar, warum die dritte Zeile gilt:

3. f w w

Ich hätte da f w f draus gemacht.

anschauliches beispiel aus der intuitionistischen (heißt die so?) logik:
(-5 = 5) => (25 = 25)
aus der ersten, falschen aussage folgt die zweite, richtige.

PeterTheMaster

ja und warum folgt die? wegen der zeile fww! sorum wird ein schuh draus, nicht andersrum.

Ben04

PeterTheMaster schrieb:

die frage der gueltigkeit stellt sich doch bei einer definition nicht.
das ist so, wie wenn ich sage "sei x eine natuerlich zahl", und du sagst "warum ist x eine natuerliche zahl? das verstehe ich nicht.".
verstehste?

Deswegen habe ich auch rechtfertigen und nicht herleiten geschrieben.

Du kannst ohne weiteres definieren, dass du der Papst bist und die Erde eine Scheibe ist. Dass diese Definition aber ziemlich schwachsinnig ist und in keinster Weise dessen was du modellieren wolltest entspricht, ist aber auch klar.

Eine Definition kann man sehr wohl rechtfertigen.

PeterTheMaster

alles richtig. meine hinweise gingen an den threadersteller.

TheTester

mathematikpraktikant schrieb:

0. A B A->B 
--------------------
1. w w w 
2. w f f 
3. f w w 
4. f f w
die implikationen 1,2,4 finde ich unmittelbar einsichtig, bzw logisch. wie zur hölle kommt man aber auf die dritte?
gibt es dafür ein verständliches beispiel?

gruß

Der "Wenn-Dann"-Gedanke ist hier irreführend auch wenn man glaubt es wäre intuitiver. In der AL benötigst du keinen kausalen Zusammenhang oder irgendeine Beziehung zwischen A und B. D.h. du kannst nicht sagen das wenn B gilt auch A gilt so wie man es bei der "intuitiven" Wenn Dann Formulierung tut. Was soviel bedeutet, dass Implikation nur ausdrückt, wenn eine Eigenschaft x gültig ist auch die Eigenschaft y gilt. Also die Frage ist nicht Wenn A dann B sondern: gilt A wird gefordert das B ebenfalls gültig ist und nicht etwa das B aus A folgt.

PeterTheMaster schrieb:

ja und warum folgt die? wegen der zeile fww! sorum wird ein schuh draus, nicht andersrum.

richtig :). Die Frage "warum gilt fww" ist innerhalb des von der wahrheitstabelle aufgestellten systems nicht sinnvoll, gerade weil es ein axiom ist. was der op aber eigentlich wissen will ist: wieso interessieren wir uns für ein system, in dem fww ein axiom ist, und nicht etwa fwf? und gibt es eine verbindung zwischen der -> funktion und der "intuitiven" folgerung?

die Implikation ist in der Booleschen Algebra kein Axiom, sondern eine wohldefinierte Funktion: "A => B" := ((nicht A) v

Der "Wenn-Dann"-Gedanke ist hier überhaupt nicht irreführend, sondern trifft es genau: "A => B" ist wahr, außer im Falle A=wahr und B=falsch - mit anderen Worten: "Wenn A (wahr ist), dann (ist) B (wahr)".

Ob B aus A gefolgert oder hergeleitet werden kann oder nicht, spielt hier (außer in einem trivialen Sinn) keine Rolle, schließlich sind A und B nur die einfachst-möglichen Aussagen w oder f.

ok, ich habs gefressen