teilfolgen und grenzwert

golden_jubilee

(c_n) sei eine Teilfolge von ((-1)^n + 1/n)
zu zeigen: wenn (c_n) konvergiert, dann ist der Grenzwert -1 oder 1

hier denkt sicher jeder sofort an 2k und 2k+1

aber ich vermute ich muss zeigen, dass es beliebig viele folgen gibt, so z.B. eine teilfolge die bis n = 100 gerade und ungerade enthält und erst ab 101 nur noch die geraden n, so dass der limes 1 ist

ich vermute also, dass bis zum "vorletzten" n, es völlig egal ist, ob da ganze n fehlen nur gerade oder ungerade oder sich das ganze abwechselt, solange zum schluss da eindeutig ein gerades oder ungerades n steht, nur leider hab ich keine idee wie man das ganze aufschreibt :(, vorausgesetzt die idee ist richtig

2.zeigen sie...

lim n ->oo (1- (1/n²⁾⁾n = 1

laut Bernoullische Ungleichung wäre das
(1+1/(n²⁾⁾n => 1+n* (1/n^2)) = 1 + 1/n
damit wäre sehr schön gezeigt, dass das ergebnis größer gleich 1 ist, aber leider kann es immer noch größer 1 sein
ich könnte jetzt natürlich versuchen zu argumentieren, dass doch 1 -1/n^2 nie größer 1 wird, aber dass geht sicher besser oder?

was ist eigentlich mit latex im forum?

SG1

golden_jubilee schrieb:

(c_n) sei eine Teilfolge von ((-1)^n + 1/n)
zu zeigen: wenn (c_n) konvergiert, dann ist der Grenzwert -1 oder 1

hier denkt sicher jeder sofort an 2k und 2k+1

Der Gedanke ist ja schonmal gar nicht schlecht. Jetzt kannst Du zeigen, dass jede Teilfolge...
* unendlich viele Werte aus c_{2k} enthält, aber nur endlich viele aus c_{2k+1} oder
* unendlich viele Werte aus c_{2k+1}, aber nur endlich viele aus c_{2k} oder
* aus beiden Folgen unendlich viele Werte.

Was weisst Du dann in den 3 Fällen über den Grenzwert?

1. Abstand zwischen einem beliebigen ungeraden einem beliebigen geraden Folgenglied ist immer größer als 1. Also muß eine konvergente Teilfolge ab einer Stelle an nur noch gerade oder ungerade Folgengliedern bestehen.

2. Umformen in ((1+1/n)^n * (1-1/n)ⁿ⁾2 - der linke Faktor geht gehen e, der rechte gehen 1/e, und e * 1/e ist 1.

Man merkt, daß das Semester angefangen hat.

hoppla, 2. soll heißen: Umformen in "((1+1/n)^n * (1-1/n)^n)" und "gehen" meint "gegen".

golden_jubilee

SG1 schrieb:

golden_jubilee schrieb:

(c_n) sei eine Teilfolge von ((-1)^n + 1/n)
zu zeigen: wenn (c_n) konvergiert, dann ist der Grenzwert -1 oder 1

hier denkt sicher jeder sofort an 2k und 2k+1

Der Gedanke ist ja schonmal gar nicht schlecht. Jetzt kannst Du zeigen, dass jede Teilfolge...
* unendlich viele Werte aus c_{2k} enthält, aber nur endlich viele aus c_{2k+1} oder
* unendlich viele Werte aus c_{2k+1}, aber nur endlich viele aus c_{2k} oder
* aus beiden Folgen unendlich viele Werte.

Was weisst Du dann in den 3 Fällen über den Grenzwert?

mhhh
a) wohl 1
b) -1
c) -1 und 1

jetzt frage ich mich nur wie man 2k unendlich viele und 2k+1 endlich viele aufschreibt

gibt es analog zu (1+1/(n²⁾⁾n und der coolen umformung mit e
auch eine für (1-1/(n²⁾⁾n , hab da einiges probiert, aber nichts ist so schön wie e * 1/e

downtimes

c) ist nicht ganz so richtig ne folge mit "2 Grenzwerten" konvergiert nicht sondern hat einfach 2 Häufungswerte H(an) = { 1, -1 }

Ben04

Folgende Fälle können auftreten:
a) Fast alle Glieder sind auch Glied von c_2n.
b) Fast alle Glieder sind auch Glied von c_2n-1.
c) Es gibt unendlich viele Glieder welche auch Glied von c_2n sind und es gibt unendlich viele Glieder welche auch Glied von c_2n-1 sind.

a) und b) dürften einfach sein. Aus c) kann mit der Beobachtung, dass es ein konstantes d gibt mit |c_2i - c_2j-1| > d > 0 für alle i,j und dem Cauchykriterium herleiten, dass die Folge nicht konvergiert.

wieso so kompliziert? Konvergente Teilfolgen müssen irgendwann nur noch aus geraden oder nur noch aus ungeraden Folgengliedern bestehen, da Elemente der einen Sorte von Elementen der anderen Sorte immer einen Abstand von >1 hat.

golden_jubilee

u_ser-l schrieb:

wieso so kompliziert? Konvergente Teilfolgen müssen irgendwann nur noch aus geraden oder nur noch aus ungeraden Folgengliedern bestehen, da Elemente der einen Sorte von Elementen der anderen Sorte immer einen Abstand von >1 hat.

versteh ich nicht, wieos ist der abstand > 1, ist der abstand von eienem geraden z.B. 22 zu 23 nicht genau 1?

Folgende Fälle können auftreten:
a) Fast alle Glieder sind auch Glied von c_2n.
b) Fast alle Glieder sind auch Glied von c_2n-1.
c) Es gibt unendlich viele Glieder welche auch Glied von c_2n sind und es gibt unendlich viele Glieder welche auch Glied von c_2n-1 sind.

a) und b) dürften einfach sein. Aus c) kann mit der Beobachtung, dass es ein konstantes d gibt mit |c_2i - c_2j-1| > d > 0 für alle i,j und dem Cauchykriterium herleiten, dass die Folge nicht konvergiert.

wie kann a und b einfach sein? ich hab keine idee wie man ausdrückt, dass mehr folgenglieder zu c_2n gehören als zu c_2n-1, mir fällt da maximal die in der vorlesung vorgestellte min/max funktion ein, wobei im fall a sicherleicht c_2n das maximum ist, aber damit habe ich noch lange nicht gesagt, dass ein von 2n unedlich viele gibt und von 2n-1 endlich viele.

und wenn ich nun unedlich viele 2n habe, kann ich dann sagen, (-1)^n, ist immer 1 und damit ist alles gesagt?

ich meine mit "Abstand" nicht den Abstand der Indizes (der ist natürlich immer 1), sondern der Folgenglieder. Die geraden Folgenglieder 1.5, 1.25, 1.2, ... nähern sich der 1 von oben, und dasjenige ungerade Folgenglied, welches noch am nächsten liegt, ist das erste, nämlich (-1)^1+1=0 - die anderen ungeraden, also -1+1/3, -1+1/5, ... sind ja noch weiter von der +1 entfernt als die 0. Also ist der Abstand zwischen einem ungeraden und einem geraden Folgenglied immer mind. 1.

Und daher muß jede konvergente Teilfolge irgendwann (und ab dann immer) nur noch gerade oder nur noch ungerade Folgenglieder enthalten. Sonst wäre die Teilfolge nicht konvergent.

PeterTheMaster

man kann die haeufungspunkte als die grenzwerte konvergenter teilfolgen charakterisieren. dann gibts quasi nix zu sagen.

ich verstehe dein formulierungsproblem nicht ganz. der definition des grenzwerts liest man ja direkt ab, dass endlich viele folgenglieder keine rolle spielen.
es gibt also die faelle

es gibt ein N, so dass (c_n)_{n>N} teilfolge von (a_{2n}) ist.
es gibt ein N, so dass (c_n)_{n>N} teilfolge von (a_{2n+1}) ist.
none of the above, also fuer jedes N gibt es i,j>N so dass c_i aus der einen und c_j aus der anderen ist.

im ersten und zweiten fall haben wir es mit teilfolgen einer konvergenten folge zu tun, solche konvergieren gegen denselben gw.
im dritten fall sieht man leicht einen widerspruch zur grenzwertdefinition (genau wie bei der urspruenglichen folge selbst).