Verknüpfungen von Mengen



  • Habe das hier im Skript gefunden:

    L, M, N seien Mengen. Dann gilt:
    M ∩ N ⊂ M ⊂ M ∪ N
    Beweis:
    Fü̈r alle x gilt:
    x∈M ∩N ⇐⇒ x ∈ M und x ∈ N
    ⇒ x∈M
    ⇒ x ∈ M oder x ∈ N
    ⇐⇒ x ∈ M ∪ N.

    Ist das wirklich ein Beweis? Das könnte man doch für beliebig Verknüpfte Mengeoperatoren so schreiben oder?



  • Nein, könnte man nicht.



  • Mist, wo sind auf einmal die ganzen Zeichen hin? 😕
    Vorhin konnte ich die noch sehen!

    Ich schreib es mal in Worten auf,
    L, M, N seien Mengen. Dann gilt:
    M geschnitten N ist Teilmenge von M ist Teilmenge von M vereinigt N.

    Beweis:
    x Element M geschnitten N <-> x Element von M und x Element von N
    -> x Element von M
    -> x Element von M oder x Element von N
    <-> x Element von M vereinigt N

    Ich glaube, ich kapiere das jetzt:
    Die verketteten Mengen werden verifiziert, bis man beim letzten Ausdruck ankommt. Wenn dieser stimmt ( hier M vereinigt N ), dann gilt es als bewiesen.
    Bitte korrigieren, wenn ich Käse schreibe.
    Gruß,
    m.



  • der Beweis ist richtig. Der letzte Absatz "ich glaube ich kapiere das jetzt ..."
    liest sich dann aber doch wieder "etwas speziell".

    im Ernst: "der letzte Ausdruck" (M vereinigt mit N) ist eigentlich eine Menge.
    Das, was Du mit "Verkettungen" meinst, sind Relationen, nämlich Relationen der Art "... ist Teilmenge von ...".

    Wenn Du Schwierigkeiten bei solchen Sachen oder keine bildliche Vorstellung davon hast, male Dir doch die Mengen auf ein Blatt Papier auf - wie das geht, kannst Du auf wikipedia im Artikel "Mengendiagramm" nachlesen.



  • Hast recht, auf Papier wird es sehr deutlich. Dieser Satz scheint eine besondere Bedeutung zu haben, wenn er im Skript vorkommt.



  • mathematikpraktikant schrieb:

    Hast recht, auf Papier wird es sehr deutlich. Dieser Satz scheint eine besondere Bedeutung zu haben, wenn er im Skript vorkommt.

    Eigentlich nicht, denn dieser Satz ist eine völlig klare Sache, die sich jeder mit zwei überlappenden Kreisen klar machen kann, wenn man es sich nicht einfach im Kopf überlegen kann.
    Mehr als ein paar logische Folgerungen wollte der Dozent damit nicht demonstrieren.

    Übrigens ist jeder Schritt im Beweis richtig, nicht nur der letzte und jeder Schritt im Beweis ist sozusagen ein kleiner Hilfssatz auf dem Weg zur Behauptung.



  • Deine Beweisargumentation ist korrekt, trotzdem verwendest du Implikationen schlampig. Beachte, dass diese Implikationspfeile logische operationen sind und nicht einfach mit der Phrase "Daraus folgt" ausgetauscht werden können.



  • Jover schrieb:

    Deine Beweisargumentation ist korrekt, trotzdem verwendest du Implikationen schlampig. Beachte, dass diese Implikationspfeile logische operationen sind und nicht einfach mit der Phrase "Daraus folgt" ausgetauscht werden können.

    Wie würde es aussehen, wenn ich die Implikationen sauber benutzen würde? Stimmt etwas mit der Schreibweise nicht? Ich habe statt so einem Pfeil: => so einen geschrieben: -> usw. Meinst du das?



  • Das würde mich auch interessieren.



  • ich habe nichts an den implikationen auszusetzen, und ich bin pingelig!



  • Jover schrieb:

    Deine Beweisargumentation ist korrekt, trotzdem verwendest du Implikationen schlampig. Beachte, dass diese Implikationspfeile logische operationen sind und nicht einfach mit der Phrase "Daraus folgt" ausgetauscht werden können.

    WTF? "Daraus folgt B" ist äquivalent zu "Aus A folgt B", nur wird in ersterem A nicht explizit genannt, da es im Satz zuvor steht. Und Aus A folgt B ist äquivalent zu "A => B", was genau ist denn dein Problem?



  • Sorry, ich sollte Posts genauer lesen wenn ich sie kritisiere. Soweit ich sehe hast du alles korrekt verwendet und ich entschuldige mich für meine ungerechtfertigte Kritik.



  • Macht ja nichts, kann passieren 🙂


Log in to reply