supremum und die folge die es geben muss





  • \usepackage[latin1]{inputenc}
    

    weißt du, was "häufungspunkt" bedeutet? in jeder umgebung von m liegen unendlich viele elemente aus M (die genaue definition musst du natürlich dem skript entnehmen). damit solltest du die aufgabe lösen können. mit dem auswahlaxiom ist es ganz einfach...



  • iAuswahl schrieb:

    \usepackage[latin1]{inputenc}
    

    weißt du, was "häufungspunkt" bedeutet? in jeder umgebung von m liegen unendlich viele elemente aus M (die genaue definition musst du natürlich dem skript entnehmen). damit solltest du die aufgabe lösen können. mit dem auswahlaxiom ist es ganz einfach...

    mhh, laut wiki, kann es aber mehrere häufungspunkte geben, so dass der grenzwert nicht mit diesem übereinstimmen muss,
    aber es sollte bedeuten, dass endlich viele folgenglieder bis zum supremum existieren und sich dann dort unedlich viele sammlen, um dort hinzukommen kann die folge aber auch für x folgenglieder fallend sein und dann wieder steigen, also ich sehe da keine lösung in dem häufungspunkt 😞



  • golden_jubilee schrieb:

    mhh, laut wiki, kann es aber mehrere häufungspunkte geben, so dass der grenzwert nicht mit diesem übereinstimmen muss,

    macht nichts, du weißt, dass m ein häufungspunkt und eine obere schranke ist. andere häufungspunkte sind wurscht.

    aber es sollte bedeuten, dass endlich viele folgenglieder bis zum supremum existieren und sich dann dort unedlich viele sammlen,

    das macht keinen sinn. alle folgenglieder sind aus M und müssen laut definition kleinergleich m sein.

    um dort hinzukommen kann die folge aber auch für x folgenglieder fallend sein und dann wieder steigen, also ich sehe da keine lösung in dem häufungspunkt 😞

    du sollst eine folge konstruieren, die die bedingungen erfüllt. (oder einen beweis durch kontraposition führen. oder eine andere technik verwenden)

    hier ein denkanstoß (es ist NICHT die lösung der aufgabe)

    - nimm eine umgebung um m mit radius 1.
    - da sind unendlich viele elemente aus M drin.
    - nimm dir eins und nenne es x_1.
    - nimm eine umgebung um m mit radius 1/2.
    - da sind unendlich viele elemente aus M ohne x_1 drin.
    - nimm dir eins raus und nenne es x_2.
    - nimm eine umgebung um m mit radius 1/3.
    - da sind unendlich viele elemente aus M ohne x_1 ohne x_2 drin. etc.

    was macht die folge x_1, x_2... ?



  • also kann man sagen, die folge muss monoton wachsend sein, weil für jedes
    epsilon > 0 ein x existiert, so dass supremum - dieses epsilon < als das x ist

    für jedes noch so kleien epsilon lässt sich immer ein x finden welches zwangsläufig größer war als sein vorgänger, weil es halt dichter am supremum ist



  • Mir fällt es etwas schwer zu sagen, ob das richtig ist, weil Du Dich recht unpräzise ausdrückst. Versuch das mal exakt aufzuschreiben, dann können wir Dir sagen, ob es genau so stimmt oder ob Du noch was beachten mußt.


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