blöde frage = einfache frage

stellt der

$\mathbb{R}^{n \times n}$

R(hoch) n (kreuz)n oder R^(n*n)

einen Vektorraum dar?

Sind für jeden Vektorraum +,* definiert?
Kann ich also schreiben V(+,*)

oder muss ich sagen es handelt sich um einen Vektorraum über einen Körper (K,+,*) ?
und wenn ich das sage stimmt diese Aussage überhaupt?

mußt unterscheiden:

endlich-dimensionaler Vektorraum (VR): immer isomorph (also i.W. gleich) zu einem K^n, wobei n die Dimension des VRs ist.

unendlich-dim. VR: nicht isomorph zu einem K^n

R^n, R^(n*n)=R(n^2)) sind jedenfalls immer VR, wenn du mit R die reellen Zahlen meinst.

Für jeden VR sind +,* definiert, nur hat dieses * (die sog. Skalarmultiplikation) i.a. nichts mit dem * in R^(n*n) zu tun.

.filmor

Formulier bitte nochmal.

ok ich seh schon als nicht-mathestudent hat mans nicht einfach;

also eig soll ich nur zeigen dass bei reellen matrizen aus R^(n*n)

aus AB = AC nicht B=C folgt

nicht schwierig, nur will ich (möglichst protzig hinschreiben dass teilen durch mtrix gleich multiplikation mit inversen ist (falls diese existiert)

und dachte ich mir dass ja in einem Körper oder so eig nur plus und mal definiert sind (ich kenne keine fachausdrücke) Ich meine also etwas wie V(+,*)
und das da irgendwie draus folgt das geteilt durch matrix multiplikation mit inversen ist

halt möglichst mathematisch korrekt

.filmor

Mathematisch korrekt wäre:
Wähle A = 0 => AB = AC für alle B, C, insbesondere auch für B ≠ C.

In Vektorräumen gibt es keine Multiplikation oder Division. Dass es auf Matrizenräumen manchmal soetwas ähnliches gibt ist liegt an ihrer Auffassung als lineare Abbildungen, das müsste da also wenn überhaupt eingehen.

.filmor schrieb:

In Vektorräumen gibt es keine Multiplikation oder Division. Dass es auf Matrizenräumen manchmal soetwas ähnliches gibt ist liegt an ihrer Auffassung als lineare Abbildungen, das müsste da also wenn überhaupt eingehen.

Das stimmt so nicht ganz.

Auf Matrizenräumen gibt es *immer* eine Multiplikation, nicht nur manchmal. Es handelt sich schließlich um die Hintereinanderausführung linearer Abbildungen.

Recht hast du insofern, als es nur manchmal die Division gibt, nämlich AB^-1, wenn die Matrix B invertierbar ist.

Vektorräume haben zunächst mal immer die Skalarmultiplikation K x V --> V, und bestimmte Sorten von Vektorräumen haben tatsächlich eine echte Multikplikation V x V --> V, etwa das Kreuzprodukt.

so und wie kann ich nun ohne einen aufsatz schreiben zu müssen hinschreiben dass es die inverse nicht immer gibt und eine division der multiplikation mit der inversen entspräche ???

irgendwie scheint sich deine Frage mit jedem Posting etwas zu ändern.

Lautet die Aufgabe "Zeige, daß aus AB=AC nicht notwendig B=C folgt", dann schau dir den 1. Absatz in .filmors zweitem Posting an.

Jester

.filmor schrieb:

Dass es auf Matrizenräumen manchmal soetwas ähnliches gibt ist liegt an ihrer Auffassung als lineare Abbildungen, das müsste da also wenn überhaupt eingehen.

Das würde ich jetzt so nicht unbedingt sagen. Die Matrizen des R^nxn sind halt eine R-Algebra. Das hat aber erstmal nichts mit einer Auffassung als lineare Abbildungen zu tun.

Jester schrieb:

.filmor schrieb:

Dass es auf Matrizenräumen manchmal soetwas ähnliches gibt ist liegt an ihrer Auffassung als lineare Abbildungen, das müsste da also wenn überhaupt eingehen.

Das würde ich jetzt so nicht unbedingt sagen. Die Matrizen des R^nxn sind halt eine R-Algebra. Das hat aber erstmal nichts mit einer Auffassung als lineare Abbildungen zu tun.

Aber jede C*-Algebra kann man nach Gelfand-Naimark als Endomorphismenalgebra eines Hilbertraumes auffassen.

Bashar

gasst schrieb:

so und wie kann ich nun ohne einen aufsatz schreiben zu müssen hinschreiben dass es die inverse nicht immer gibt und eine division der multiplikation mit der inversen entspräche ???

"Nicht alle quadratischen Matrizen über einen Körper sind invertierbar." toller Satz oder? Das ist aber für deinen Beweis vollkommen irrelevant, da reicht ein Gegenbeispiel.

Jester

Zudem hat das ganze auch nur bedingt was mit Invertierbarkeit zu tun.

AC = BC <=> AC - BC = 0 <=> (A-B)C = 0

Das führt also zur Frage der Nullteilerfreiheit, nicht der Invertierbarkeit. Z ist zum Beispiel nullteilerfrei, also gilt dort diese Kürzungsregel. Aber die meisten Elemente von Z sind nicht invertierbar.

hmm danke , ich habs jetzt schon abgegeben
aber so der neugierde wegen, was ist dieses ominöse Z ?

.filmor

Die Menge der ganzen Zahlen (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …), hier als Ring mit der üblichen Addition und Multiplikation.

PeterTheMaster

mal wieder ist A nicht quantifiziert. falls da bereits aus der existenz eines solchen A gefolgert werden soll, so gilt das in keinem ring, weil man immer A=0 waehlen kann. wird wenigstens A!=0 gefordert, so stellt sich die frage nach der nullteilerfreiheit. solls fuer jedes A gelten, so gilt die implikation z.b. nach wahl A=1.