Spann und dimension und lineare gleichungssysteme

ich habe gegeben eine menge

M = span{ <1,0,2> , <-1,-2,-1> , <1,-2,3>}

(alles spaltenvektoren)
aufgabe: um welches gebilde handelt es sich?
mein antwort: die determinante ist ungleich 0, es sind aber alle paarweise unabhängig -> es muss eine ebene sein
-frage : welche dimension hat M
+ meine antwort: M ist Ebene -> Dimension 2

aber in der korrektir steht bei mir dass die matrize den rang 2 hätte und die dimension dann 3-2 = 1 wäre

ich dachte das wäre nur bei gleichungen der fall für die dimension der lösungsmenge?!

meine 2. große frage:
wenn ich nun ein LGS habe in der form
3a+4b+5c = 1
2a+3b+4c = 2
1a+2b+3c = 3

muss ich dann für die lösung die matrix
3 4 5
2 3 4
1 2 3

oder die matrix
3 4 5 1
2 3 4 2
1 2 3 1
betrachten
(gemeint ist sowas wie determinante =0 keine oder unendlich lösungen)

was ist nochmal der kern einer matrix?

ist es die lösung des LGS
A * x = 0 ??

Du hast da einiges durcheinandergebracht. Wenn du bestimmen willst ob mehrere Vektoren linear unabhängig sind, dann schreibst du sie Spaltenweise in eine Matrix und benutzt den Gauß-Algorithmus. Dann zählst du die 1en auf der Diagonalen, diese geben dir den Rang an und die Dimension des Lösungsraums ist dann "Spaltenzahl-Rang" bzw. "Zeilenzahl-Rang" (je nachdem ob die Spaltenzahl oder die Zeilenzahl kleiner ist).
Wenn du Vektoren in eine Matrix schreibst, dann löst du ein homogenes LGS und alle Vektoren die mit der Matrix multipliziert 0 ergeben sind Lösungen mit denen du die 0 linear kombinieren kannst aus den Vektoren in der Matrix (d.h. sie sind nur dann linear unabhängig, wenn der Lösungsraum nur den 0 Vektor enthält).

btw. wenn ich oben 0 geschrieben habe, dann meine ich damit den Nullvektor.

Zu deinem LGS: du schreibst die Koeffizienten Zeilenweise in eine Matrix, so wie sie da stehen und nichts anderes, du hast also die Matrix:
3 4 5 | 1
2 3 4 | 2
1 2 3 | 3

Und ja diese ist nicht symmetrisch! Und man trennt die rechte Seite der Gleichung mit einem | ab, man nennt solche Matrizen erweiterte Koeffizientenmatrizen.

Alternativ kannst du auch das homogene LGS lösen:
3 4 5 -1
2 3 4 -2
1 2 3 -3

Hier lässt man die rechte Seite in der Matrix weg, da diese ja nur eine 0-Spalte wäre und nichts ändern würde.

Du kannst das LGS auch lösen indem du das zugehörige homogene LGS löst:
3 4 5
2 3 4
1 2 3

und eine Lösung des nichthomogenen LGS errätst oder sonstwie ermittelst, dann ergibt die Summe dieses Lösungsvektors mit dem Lösungsraum des homogenen LGS den Lösungsraum des nichthomogenen LGS.

Der Kern einer Matrix sind alle Vektoren welche mit der Matrix multipliziert die 0 ergeben. Ja das ist {x|A*x=0}.

soweit so gut zu meiner ersten frage ?

noch zur anmerkung bei
3 vektoren aus r3 kann ich zur überprüfung der unabhängigkeit
die determinante der spaltenvektoren in einer matrix nehmen
(= spatprodukt)
ist dieses 0 wird kein raum aufgespannt- > abhängigkeit

dann sage ich das alle 3 paarweise unabhängig sind und folgere daraus dass eine ebene aufgespannt wird?
schlüssig oder falsch?

Also zu deiner ersten Frage: es ist eine (Hyper-)Ebene, das ergibt sich dadurch, dass du für die lineare Hülle (dein spann(...)) zwei Basisvektoren finden wirst.

hallo2 schrieb:

noch zur anmerkung bei
3 vektoren aus r3 kann ich zur überprüfung der unabhängigkeit
die determinante der spaltenvektoren in einer matrix nehmen
(= spatprodukt)
ist dieses 0 wird kein raum aufgespannt- > abhängigkeit

dann sage ich das alle 3 paarweise unabhängig sind und folgere daraus dass eine ebene aufgespannt wird?
schlüssig oder falsch?

Es wird ein Raum aufgespannt, aber die Vektoren Bilden keine Basis des IR³, das meintest du wohl, oder?
Du kannst natürlich die Determinante davon bestimmen, diese ist in deinem Beispiel auch 0 (und nicht wie in Posting 1 behauptet != 0), was bedeutet, dass mindestens ein Vektor Linearkombination der anderen Vektoren ist, also sind sie linear abhängig, wie du richtig gefolgert hast.

Was verstehst du unter paarweise unabhängig? Dass keiner ein vielfaches eines anderen ist? Du könntest wohl so argumentieren, aber warum bestimmst du nicht einfach eine Basis der linearen Hülle?
Geht ganz einfach: schreib die Vektoren zeilenweise in eine Matrix, wende den Gauß-Algorithmus an und alle Zeilen welche nicht nur aus 0en bestehen schreibst du wieder als Vektoren (also die Zeilen!) und schon hast du eine Basis. In deinem Fall sind das 2 Vektoren und es wird auch sofort ersichtlich sein, dass sie linear unabhängig sind.

PeterTheMaster

deine loesung der ersten aufgabe ist vorbildlich (ich nehme an das "ungleich 0" ist ein schreibfehler), korrektoren haben oft keine ahnung, sind ja auch nur studenten.
gaussalgo wie vorgeschlagen geht auch, ist aber die stupidere variante und liefert insbesondere keine basis.

die frage mit welche mantrix betrachtet man, ist nicht sehr deutlich gestellt. je nach dem, was man untersucht, sind beide nuetzlich. recht wesentlich ist der rangvergleich zwischen beiden.
(A|-b) als homogenes LGS auffassen finde ich interessant, man muss jedoch beachten, dass das ergebnis in homogenen koordinaten zu interpretieren ist, man macht aus dem n+1 vektor einen n-Vektor, indem man durch die letzte komponente teilt.
was der kommentar mit der symmetrie soll, weiss ich nicht, eine 3x4 matrix kann sowieso nicht symmetrisch sein.

der kern ist in der tat das urbild von 0, ker(A)=A^(-1)(0).

PeterTheMaster schrieb:

was der kommentar mit der symmetrie soll, weiss ich nicht, eine 3x4 matrix kann sowieso nicht symmetrisch sein.

Bezog sich auf

muss ich dann für die lösung die matrix
3 4 5
2 3 4
1 2 3

oder die matrix
3 4 5 1
2 3 4 2
1 2 3 1
betrachten