nochmal kern einer matrix
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also wenn ich alles recht verstanden hab ist der kern der matrix A
die lösung des gleichungssystemsA x = 0;
wie komme ich dann auf den kern der matrix
(1 0 1)
(1 2 1)
(1 1 0)?
meiner meinung wäre ja eine triviallösung einfach nur x = 0... oder steckt da mehr dahinter?
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gasst schrieb:
also wenn ich alles recht verstanden hab ist der kern der matrix A
die lösung des gleichungssystemsA x = 0;
genau richtig
wie komme ich dann auf den kern der matrix
(1 0 1)
(1 2 1)
(1 1 0)?
Na indem Du das LGS löst.
meiner meinung wäre ja eine triviallösung einfach nur x = 0... oder steckt da mehr dahinter?
das ist *eine* Lösung. Der Kern besteht aber aus *allen* Lösungen. Du mußt also das LGS wirklich lösen oder zumidnest beweisen, dass hier x=0 wirklich die einzige Lösung ist.
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achso das entsprechende lgs wäre dann
1 0 1 0
1 2 1 0
1 1 0 0
?ok , das sollte einfach sein aber im nächsten schritt soll ich dann die inverse berechnen
das wäre dann die gleichung
A A(inv) = I
wie löse ich das nach A(inv) auf?
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Sehr praktisch um das von Hand zu machen ist der Gauß-Jordan-Algorithmus.
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kleiner tipp fuer die kernsuche: die inverse existiert genau dann, wenn der kern {0} ist, also det!=0 ist. die inverse ermittelst du, indem du die gegebene matrix zur einheitsmatrix transformierst und parallel (blatt vertikal teilen) dieselben trafos auf die einheitsmatrix anwendest. so wird aus (A,I) (I,A^(-1)).
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hmm immer noch ein kern problem ich versteh des net so richtig:
ges kern von:
1 0 1 2
2 1 1 3
1 1 0 1also lgs:
1 0 1 2 | 0
2 1 1 3 | 0
1 1 0 1 | 0 // -> (3) - (1)1 0 1 2 | 0
2 1 1 3 | 0
0 1 -1 -1 | 0 // (2) - 2*(1)1 0 1 2 | 0
0 1 -1 -1 | 0
0 1 -1 -1 | 0 // die letzten beiden zeilen identisch -> setze 01 0 1 2 | 0
x_1 = -2*r -s
x_4 = r
x_3 = s(-2) (-2) (-1)
( 0) + r ( 0) + s ( 0)
( 0) ( 0) ( 1)
( 0) ( 1) ( 0)stimmt das soweit??
ein matheprogramm liefert mir als kern:
{ <-2,1,0,1> , <-1,1,1,0> }kann das ergebnis nicht so recht interpretieren?
würde das obige (von mir ) jemand nachrechnen und eine musterlösung posten?
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du kannst nicht *beide* (0 1 -1 -1 | 0) wegwerfen, bloß weil sie gleich sind.
Du machst durch Subtraktion eine der beiden zu Null, und es entsteht:1 0 1 2 | 0
0 1 -1 -1 | 0wie du siehst, kannst du x_3 und x_4 frei wählen, und erhältst vektoren im Kern durch x_1 = -x_3-2x_4, x_2 = x_3+x_4
eine Kern-Basis wäre dann zB { (-1 1 1 0), (-2 1 0 1) }
- wenn ich mich nicht verrechnet habe.
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hab' mich nicht verrechnet, dein "Matheprogramm" spuckt ja dasselbe Ergebnis aus
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die geschweiften klammern kann ich dann als spann interpretieren?
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nee, als menge. warum interessiert dich denn der kern der erweiterten matrix?
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das ist jetz der kern der ERWEITERTEN matrix???
ich dachte um den kern der matrix
1 0 1 2
2 1 1 3
1 1 0 1zu bekommen muss ich das lgs
1 0 1 2 | 0
2 1 1 3 | 0
1 1 0 1 | 0lösen- oder?
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der kern einer matrix A ist einfach ihr urbild von 0, also die loesungsmenge des lgs Ax=0.
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also bei allem was ich jetzt probiert habe ist der kern der matrix
A:=
1 0 1 2
2 1 1 3
1 1 0 1die Menge M:=
span{ <-2,1,0,1>, <-1,1,1,0>}
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bei einer 3*3 matrix mit vollem rang ist der kern dann
der nullvektor oder die leere menge?
mein computerprogramm spuckt leere menge aus ,allerdings müsste der Nullvektor ja immer gehen
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Der Kern einer regulären Matrix ist der Nullraum.
Was liefert Dir denn Dein Computerprogramm? Wahrscheinlich liefert es Dir doch eine Basis des Lösungsraums. Und damit hat es dann auch vollkommen recht: die leere Menge ist die Basis des Nullraums.
