Eine Frage zu den Grenzwerten
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Hallo zusammen
Ich habe eine wie mir scheint, extrem simple Grenzwertaufgabe, aber mein Rechner und ich haben aus irgendeinem Grund eine Meinungsverschiedenheit:lim_n->oo(sqrt(n+1)-sqrt(n+2))
Meine Lösung:
lim_n->oo(sqrt(n+1)) - lim_n->oo(sqrt(n+2)) = oo - oo = 0Aber mein Rechner sagt, diese Aufgabe sei nicht lösbar?!
Folgende Aufgaben löst er allerdings wie von mir erwartet:
lim_n->oo(sqrt(n+1)-sqrt(n))
lim_n->oo(sqrt(n+2)-2*sqrt(n+1)+sqrt(n))Spinnt mein Rechner, oder mache ich einen Denkfehler?
Mfg Ishildur
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Ishildur schrieb:
Meine Lösung:
lim_n->oo(sqrt(n+1)) - lim_n->oo(sqrt(n+2)) = oo - oo = 0So, wie du das gerechnet hast, stimmt das aber nicht. Der Grenzwert stimmt zwar, aber was soll ∞-∞ bedeuten?
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unendlich - unendlich
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Gilt dann auch lim_n->oo(n+1 - n)) = lim_n->oo(n+1) - lim_n->oo(n) = oo-oo = 0?
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Ich denke eher nicht!
Aber eben, dann habe ich etwas an den Limessätzen nicht verstande, weil laut denen, müsste es doch eigentlich äquivalent sein?
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Ja, lies die Limessaetze nochmal genau, den Limes darfst du in deinem Fall nur so aufspalten wie du es getan hast, wenn beide Grenzwerte existieren.
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Ishildur schrieb:
lim_n->oo(sqrt(n+1)-sqrt(n+2))
erweitere doch mal im Zähler und Nenner mit sqrt(n+1)+sqrt(n+2).
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oo-oo ist nicht definiert. Ein oo ist keine reelle Zahl und deswegen kannst du auch nicht so damit rechnen.
Was geht ist zum Beispiel:
1/oo = 0
1/-oo = 0
oo+oo = oo
-oo-oo = -oo
oooo = oo
oo(-oo) = -oo
-(oo+r) = -oo
oo+r = oo
oor = oo wenn r > 0
oor = -oo wenn r < 0Was zum Beispiel undefiniert ist:
oo*0
oo/oo
oo-oo
r/0(wobei r jeweils eine reelle Zahl ist)
Versuch mal bei deinem Ausdruck mit sqrt(n+1)+sqrt(n+2) zu erweitern.
Wenn man bei reellen Grenzwerten von Existenz spricht, dann meint man meisten die Existenz eines Grenzwerts in R. oo existiert demnach gar nicht.
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lim_n->oo(sqrt(n+1)-sqrt(n+2))
=lim_n->oo(sqrt(n+2)[sqrt(n+1)/sqrt(n+2)-1])
=lim_n->oo(sqrt(n+2)[sqrt((n+1)/(n+2))-1])
=oo(-1)=-oo