Umrechnung von abhängigkeit von r in abh. von t

Nun will ich mal ein klassisches physikalisches problem beleuchten: Den freien fall in einem vakuumisierten tunnel durch den erdmittelpunkt.
Fg ist klar: gamma*m1*m2/r^2
Nur wie komme ich dann auf die benötigte zeit, bzw. die kraft in abhängigkeit von der zeit?
Dazu benötige ich doch sicher eine Differentialgleichung. Aber wie stelle ich diese auf?

Danke schon einmal für etwaige hilfe.

.filmor

So funktioniert das eh nicht. Du kannst nicht einfach Punktmassen annehmen, dafür ist die Erde zu fett. Du musst stattdessen über die gesamte Kugel integrieren und eine Dichtefunktion statt der Masse benutzen. Damit kannst du dann mit etwas Geschick die Kraft für eine bestimmte Position ausrechnen, am Besten einfach die z-Achse entlang, in Zylinderkoordinaten. Es erscheint mir auch sinnvoll, den Erdmittelpunkt als z = 0 zu bezeichnen. Wenn du dann F(z) hast musst du einfach das Newtonsche Kraftgesetz benutzen:

F = m⋅a
=> F(z) = m ⋅ ∂²z

Diese Differentialgleichung musst du erstmal lösen, damit erhältst du z(t) aus dem du mit etwas Glück die Zeit schon ablesen kannst.

Geht vermutlich auch eleganter (z.B. mit Lagrangeformalismus), aber das ist so das erste, was mir dazu einfiel.

SeppJ

Du kommst auf die benötigte Differentialgleichung, wenn du die Erdmasse höhenabhängig machst. Bei Zentralkräften wie der Gravitation ist es nämlich so, dass du im Inneren einer Kugel nicht mehr die Kräfte durch Teilchen spürst, die höher sind als du selbst. Die heben sich dann nämlich weg.

Das bedeutet, dass die Masse der Erde in deiner Formel dem Integral über die Dichte der Erde bis zu deiner jetzigen Höhe entspricht. Mit diesem Ansatz kommst du erstmal weiter, jetzt musst du dir aber Gedanken machen, ob es dir reicht mit einer homogenen Erde zu rechnen oder ob du mit einem realistischeren Modell rechnen willst, bei dem der Großteil der Masse im eisernen Kern sitzt.

edit: Ich schreibe einfach viel zu langsam.

Ja also ρ ist der durschnittswert, also eine homogene massenverteilung:
V_erde(r)=4/3*PI*r^3
M_erde(r)=V_erde(r)*ρ
F(r)=γ*m1*M_erde(r)/r

F=dp/dt (oder hier dr?)
Denn sonst könnte man ja einfach F integrieren und durch m teilen, was ich aber nicht glaube.
Das problem mit der DGL ist, ich komme auf keinen ansatz:
Bei t=0 kann man die Kraft berechnen, und t um eins erhöhen, und dann dort die kraft wieder berechnen.
Also irgendie in der art
s(t=0+Δt)=s(t=0)+Δt*v(s(t=0))
für kleine Δt
Und so könnte man das ja immer weiter führen, wie komme ich da aber auf eine DGL?

SeppJ

grege schrieb:

Und so könnte man das ja immer weiter führen, wie komme ich da aber auf eine DGL?

Kraft auf das fallende Masseteil m2 durch die Erdmasse m1:

F   =   m2*a   = gamma*m2*m1(r)/r^2
  Newton   Gravitations-
              gesetz

Wenn man die Erde als homogen annimmt mit Dichte p, so ist

m1(r) = (4/3 * Pi *r^3)  * p
         Volumen einer   Dichte
            Kugel

In der ersten Gleichung ist die Beschleunigung a = d^2r/dt2, außerdem kann man m2 kürzen. Wenn man dann die zweite Gleichung für m1 einsetzt bekommt man:

d^2r/dt^2 = gamma * 4/3 * Pi *r^3 *p / r^2 = Vorfaktoren * r

Und diese DGL ist dann vergleichsweise leicht analytisch lösbar.

Vielen dank für den ansatz!
So ließ sich das nun gut lösen.