quadratische form hauptachsentransformation

hallo kann mir einer erklären was das alles ist wozu ich es verwende und sowieso?
Bin auch für jeden link dakbar der das thema für LAIEN verständlich behandelt

wikipedia scheidet da schon mal aus^^
ich kann leider keine genaue frage stellen da das thema mit einfach zu neu ist.

also bisher weiß ich
es gibt einen vektor x

nun eine funktion f(x) die diesen vektor einer reellen Zahl zuordnet
f(x) |--> a

so ... die nächsten schritte sind mir einfach nur rätselhaft:
ahja die funktion soll die form

a0 + a (transponiert) *x + x (t)* A * x haben

ok das muss ein skalar ergeben soweit auch noch in ordnung

was stellt nun dieser vektor a dar? hängt a0 von a ab? wir haben überall den selben bezeichner a...

nun weiter im text ... eine funktion
p(x) heißt quadratische form wenn

x(t) A x = p(x) gilt

das sieht für mein ungeübtes auge nicht sehr quadratisch aus, was ist jetz eig diese matrix A???

und dann gehts wunderschön mit koordinatentransformation weiter ...

x = B y y= vektor

woher kommt denn jetzt dieses y? und B soll sein ( b1,b2,...,bn)
äußerst interessant ... aber woher hab ich bitte b1 bis bn???

achja y wird ja sogar erklärt:

y = y1, y2,...,yn nicht besonders aufschlussreich im moment

dann gehts weiter mit der definition von hauptachsen der quadr form:

q(x) = x(t) A x

mit A = A(t) bedeutung?? ich weiß doch noch nicht mal was A überhaupt ist ...

bitte um erlaubnis kurz weinen zu dürfen bevor ich weiter mache --- heul ---

Als Hauptachsensystem der qForm
q(x) = x(t) A X
mit A = A(t)
bezeichnet man eine orthonormale basis
B = (b1,b2,...bn) des R^n wenn q in Koordinatensystem (0,b1,...bn) rein quadratisch ist

<-- bitte erklären
woher kommt B? was ist A warum A(t)= A???

wir haben leider kein einziges beispiel dazu ... weiter im text geht es mit eigenwerten von diesen dingern aber ich wills erstmal hierbei belassen

31 handschriftliche seiten in eineinhal stunden... neuer rekord nur versteh ich jetz nix mehr , hoffe es wird nochmal erläutert

gasst schrieb:

so ... die nächsten schritte sind mir einfach nur rätselhaft:
ahja die funktion soll die form

a0 + a (transponiert) *x + x (t)* A * x haben

ok das muss ein skalar ergeben soweit auch noch in ordnung

was stellt nun dieser vektor a dar? hängt a0 von a ab? wir haben überall den selben bezeichner a...

hallo. wahrscheinlich kennst du den begriff taylorentwicklung nicht? im grunde geht es darum, dass du eine 'schöne' funktion als polynom darstellen kannst. z.b. e^x = 1 + x + 1/2 * x^2 + 1/6 * x^3 + ...
deine funktion hängt von mehreren variablen ab, die in dem vektor x = (x1, ..., xn) zusammengefasst sind. man kann aber genau so sagen, dass f 'ungefähr' ein polynom zweiten grades ist. für eine zweidimensionale funktion f(x,y) würde das so aussehen:

f(x,y) = a0 + c*x + d*y + e*x^2 + f*x*y + g*y^2.

das ist analog zu einem polynom 2. grades, da in jedem summand höchstens zwei variablen (d.h. x,y) vorkommen. (also entweder x^2 = x*x, oder y^2 = y*y oder x*y = x*y u.s.w.)

diese art das zu schreiben ist aber extrem umständlich, wenn man mehr als 2 variablen hat. man kann aber sagen: c*x + d*y = (c,d)^t*(x,y). das ist einfach ein skalarprodukt, und der vektor (c,d) entspricht deinem vektor a.
und alle quadratischen terme kannst du ähnlich zusammenfassen, mithilfe der matrix

[ e    f/2  ]
A : [           ]
    [ f/2   g   ]

und

e*x^2 + g*y^2 + f*x*y = (x,y)^t * A * (x,y)

einfach nur eine kürzere schreibweise. dass das gleiche rauskommt kannst du nachrechnen, mehr steckt da auch nicht dahinter. du kannst dir auch überlegen, dass das nicht das einzige A ist, was, so ausmultipliziert, die linke seite ergibt. es ist aber das einzige symmetrische A, deswegen verwendet man das.

Nun kannst du eine neue variable y einführen, die genausoviele dimensionen wie x hat, und zwischen denen es eine bijektion gibt. d.h. zu jedem x gibt es genau ein y. weiterhin sagst du, dass jede komponente von y eine linearkombination von komponenten von x ist. das heißt, du kannst (für zweidimensionale vektoren)
zum beispiel folgende transformation nehmen:

y_1 = 1/sqrt(2)*(x_1 + x_2)
y_2 = 1/sqrt(2)*(x_1 - x_2)

und du kannst natürlich die obige gleichung nach x_1, x_2 umformen und dein polynom f(x_1, x_2) als funktion von y_1, y_2 schreiben. Dieses polynom hat genau dieselbe form wie f(x_1, x_2), nur die konstanten a und A sind anders.
der witz ist jetzt, dass diejenige transformation findest, für die das f folgende form hat:

f'(y_1, y_2) = a0 + a'_1*y_1 + a'_2*y_2 + J*y_1^2 + K*y_2^2

mit irgendwelchen konstanten J, K und a'_1, a'_2, (die du aus dem ursprünglichen f berechnen kannst)

Zurück zum Witz: in f' kommt kein Term y_1y_2 vor!. Das ist cool! (glaub mir)
Und was ist, wenn du f' mit der Matrix-Form (wie oben) schreibst? dann hat die Matrix A nur diagonalelemente, weil die nichtdiagonalelemente gerade die Vorfaktoren vor y_1y_2 sind, und die sind null.

Als Hauptachsensystem der qForm
q(x) = x(t) A X
mit A = A(t)
bezeichnet man eine orthonormale basis
B = (b1,b2,...bn) des R^n wenn q in Koordinatensystem (0,b1,...bn) rein quadratisch ist

<-- bitte erklären
woher kommt B? was ist A warum A(t)= A???

so, das was ich vorhin y_1, y_2 genannt habe, ist bei dir b1, b2. B ist die Transformation, in der f keine mischterme hat. Und wie oben erwähnt, ist A=A(t) für die Form von f() nicht nötig; es gibt aber einen satz, dass du zu einer symmetrischen Matrix immer eine Transformation finden kannst, so dass das Resultat der Transformation nur diagonalelemente besitzt; deswegen nimmt man eine symmetrische Matrix.

so, ich weiß jetzt nicht, ob ich alles (oder überhaupt irgendwas) erklärt habe, aber frag' im zweifel nochmal

ok der versuch war scho mal net schlecht kannst du mal so zum verständnis ein beispiel vorrechnen?

mir is der schritt von funktion mit n unbekannten x_i zu 2-dimensionalem auch noch net so klar...

naja eig alles noch nicht so aber ein beispeil denk ich würde mir helfen

wahnsinn ich habe zumindest eine grobe ahnung aber beispiele vermiss ich in mathe immer mehr
ich hätte mathe studieren sollen, des macht mir wenigstens spass ^^

gasst schrieb:

ok der versuch war scho mal net schlecht kannst du mal so zum verständnis ein beispiel vorrechnen?

beispiel:

x = (x_1, x_2, x_3)

f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2*x_1*x_2 - 2*x_1*x_3 - 2*x_2*x_3
     = (x^t)*A*x

mit der Matrix

    [ 1  -1 -1 ]
A = [ -1  1 -1 ] 
    [ -1 -1  1 ]

jetzt kannst du drei eine neue variable einführen: 

y_1 = (x_1 + x_2 + x_3)/sqrt(3)
y_2 = (x_1       - x_3)/sqrt(2)
y_3 = (x_1-2*x_2 + x_3)/sqrt(6)

oder, anders geschrieben 

    [ 1/sqrt(3)  1/sqrt(3)  1/sqrt(3)  ]   [ x_1 ]
y = [ 1/sqrt(2)  0          -1/sqrt(2) ] * [ x_2 ]
    [ 1/sqrt(6) -2/sqrt(6) 1/sqrt(6)   ]   [ x_3 ]

  = R * x

mit der neu eingeführten Matrix R.
du kannst nachrechnen, dass 

R^t*R = einheitsmatrix = R*R^t

(daraus folgt x = R^t * y)

und 
          [ -1  0  0  ]
R*A*R^t = [  0  2  0  ]   
          [  0  0  2  ]

ist.

jetzt nur noch einsetzen:

f(x) = (x^t)*A*x 
     = ((R^t*y)^t * A * (R^t*y)
     = y^t * ( R * A * R^t) * y
benutze R*A*R^t
     = -y_1^2 + 2 * y_2^2 + 2*y_3^2
     = f(x(y))

falls dir der letzte schritt suspekt ist, kannst du die erste definition von f(x) nehmen und dort x_1, x_2, x_3 durch die entsprechende linearkombination von y_1,y_2,y_3 ersetzen, und ausmultiplizieren. Das wird zwar sehr hässlich, es kommt aber genau -y_1^2 + 2*y_2^2 + 2*y_3^2 raus.

übungsaufgabe: finde raus, wie man auf die matrix R kommt

sehr schön werds mir nohmal richtig durchlesen

unser primäres ziel soll es sein damit ellipsen krese und sowa zu beschreiben wie macht man das?

gasst schrieb:

sehr schön werds mir nohmal richtig durchlesen

unser primäres ziel soll es sein damit ellipsen krese und sowa zu beschreiben wie macht man das?

was ist die gleichung einer ellipse?

nunja ich habe bisher noch nicht so richtig verstanden WAS wir machen w´sollen...

was habe ich im normalfall gegeben was ist gesucht?

wie soll eine ellipse beschrieben werden und wozu brauch ich das dann?

wie gesagt das thema ist komplett neu für mich