beweis, stetig, delta

golden_jubilee

Es sei f :[0,1]->R und es gelte für x0 € ]0,1[ f(x0)>0.
Zeige: es exisitiert ein Delto > 0 mit ( |x-x0| < Delta -> f(x)>0.5*f(x0)>0).

Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass wenn die Funktion stetig ist, neben dem Delta ein Epsilon existieren muss, so dass |f(x)-f(xo)| < e, aber das kann ich drehen wie ich will, ich komme da nie auf f(x)>0.5*f(x0)>0 um zu sagen, wenn das stimmt, dann muss es ein Delta geben.

:xmas2:

mcr

Ich bin mir gar nicht so sicher, ob die Aussage, so wie du das hier schreibst,
richtig ist.

Was ist mit f(x) = 1 für x rational und f(x) = 10 sonst.

Für x0 rational stimmt die Aussage. Aber was ist für x0 irrational?
dann ist f(x0) = 10, aber es gibt kein Delta > 0, so dass
für alle x im Radius delta um x0 f(x) > 5 ist, da Q dicht in R ist.

Ok, die Funktion ist nicht stetig, aber das steht auch nicht in
der Aufgabenstellung.

Gruß mcr

golden_jubilee

oh, dass habe ich wohl nicht deutlich geschrieben, die funktion ist stetig.

Jester

Ich würds so lösen:
y_0 := 0.5*f(x_0)

Die Menge U_=(y_0,1) ist offen. Da f stetig ist, ist auch V:=f^-1(U) offen. Zudem gilt nach Definition x_0 \in V. Also ist V eine offene Umgebung von x_0, was äquivalent zur gewünschten Aussage ist.

Allerdings ist die Argumentation sehr topologisch angehaucht -- man spart sich den ganzen epsilon-delta-quark.

edit: letztlich geht es aber auch damit recht einfach: Du mußt nur Dein epsilon geeignet wählen, dann liefert Dir die Stetigkeit doch die Existenz eines geeigneten Deltas.

golden_jubilee

da f(x0) > 0 ist und stetig im punkt, gilt das auch für f(x), so dass ein Delta > 0 existiert mit |x-x0| < Delta

und nach der definition für stetigkeit nach e, Delta existiert ein
|f(x)-f(x0)|< e

wenn man das ganze so weitermacht folgt, dass |f(x)|>|f(x0)-|f(x)-f(x0)|>0

jetzt muss ich also das e so anpassen das ich |f(x0)-|f(x)-f(x0)| durch das gesuchte 0.5(fx0) ersetzen kann

aber da ist mir nicht ganz klar wie ich da einfach das f(x) verschwinden lassen kann, dass gehört schließlich zur definition

probier's doch mal mit Beweis durch Gegenbeweis:

wenn die Behauptung falsch wäre, müßte eine Folge x_n existieren mit f(x_n) <= 0.5f(x_0) für alle n, und mit: x_n konvergiert gegen x_0. f stetig => 0.5f(x_0) >= lim f(x_n) = f(lim x_n) = f(x_0), Widerspruch.

Jester

@golden_jubilee: Du wirfst da einiges durcheinander. Fang nochmal langsam an und schau Dir nochmal genau an, was Stetigkeit bedeutet: was darfst Du vorgeben, und was gibt Dir die Stetigkeit dafür?

golden_jubilee schrieb:

da f(x0) > 0 ist und stetig im punkt, gilt das auch für f(x), so dass ein Delta > 0 existiert mit |x-x0| < Delta

Das ist nicht wirklich sinnvoll. Um die x mit |x-x_0| < Delta zu betrachten benötigst Du weder f, noch Stetigkeit noch sonstwas.

und nach der definition für stetigkeit nach e, Delta existiert ein
|f(x)-f(x0)|< e

Was ist Stetigkeit nach e, Delta? |f(x)-f(x0)|< e ist eine Aussage, die ist wahr oder falsch, ihre Existenz steht aber nicht zur Debatte.

aber hier verlierst Du mich dann ganz.
Nochmal zur Stetigkeit: f stetig heißt: Du darfst Dir ein x_0 und ein epsilon > 0 aussuchen. Und dann ist die Existenz eines Delta > 0 gesichert, so dass gilt: |x-x_0|<Delta => |f(x)-f(x_0)| < epsilon

So, jetzt geh nochmal an die Aufgabe, wähl Dir ein geeignetes x_0 und ein *geeignetes* epsilon und wünsch Dir dann von der Stetigkeit das passende Delta.