Rechenregeln für Eigenwertprobleme

Gegeben habe ich eine Matrix:

.....(-1..7..-2)
0,5 *(7..-1..-2)
.....(-2.-2...8)

von der ich die eigenwerte berechnen soll, ich weiß dass fpr determinanten folgendes gilt:
det (r*A) = r^n * det A

Spasseshalber habe ich nun sowohl die Eigenwerte der matrix als auch die der matrix ohne dem 0,5 davor berechnet und dabei ist mir aufgefallen dass die eigenwerte der matrix genau halb so groß sind wie die der matrix ohne 0,5

also sie entscheiden sich nur um den vorfaktor...
ist das allgemein gültig? wo kann ich so etwas nachlesen?

und kann ich vielleicht noch einen schritt weiter gehen und sagen dass die eigenvektoren der matrix dieselben sind wie der anderen?

oder halt allgemein:

r*A -> eigenwerte = r* EW(A)
r*A -> eigenvektor= EV(A)

?

wenn ein Vektor x ungleich Null existiert mit Ax=ex, dann gilt (0.5A)x=(0.5e)x - und umgekehrt. Das ist die Definition von "e ist Eigenwert".

oder anders ausgedrückt:

für r ungleich 0 und E := Einheitsmatrix:

e EW von A <=> det (A-eE) = 0 <=> r^n * det (A-eE) = 0 <=> det [r(A-eE)] = 0 <=> det [rA-(re)E] = 0
<=> re EW von rA

woraus ich sofort folgern kann dass x
dann auch Eigenvektor von "skalar"*A sein muss da
die gleichung sich nicht verändert hat und
0.5*A x = 0.5*e *x

das x ja nicht verändert oder?

shisha schrieb:

das x ja nicht verändert oder?

Ein klares jein... Ist x Eigenvektor einer Matrix, so ist auch alpha*x Eigenvektor für alpha != 0.

Noch lustiger wird es, wenn du z.b. zwei Eigenvektoren x und y zum gleichen Eigenwert e hast. Dann sind alle Linearkombinationen von x und y auch Eigenvektor zum Eigenwert e.

kann ich nicht aus obigem folgendes lesen:

I: wenn x EV(A) dann ist lambda*x (!=0) auch EV

A*x = e*X

r*A*x = r*e*x

ist x auch EV von r*A

und somit auch jedes lambda*x?

vielleicht wurde die frage nur falsch verstanden?