Potenzmenge
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Hola!
Mal ne Frage zu Potenzmengen hab ...
Gegeben ist die Menge M:={a,b}.
Laut Literatur ist die Potenzmenge P(M) = {{}, a, b, ab}.
Die Leere Menge ist also in der Potenzmenge als ein eigenständiges Element enthalten,
nämlich als {}.
Nun könnte man ja auf die Idee kommen, die Leere Menge zu den übrigene Elementen
der Potenzmenge hinzuzufügen und würde eine neue Potenzmenge erhalten:
P(M) = { {}, a, b, ab, a{}, b{}, ab{} }Da es in der Literatur aber so nicht vorkommt, nehme ich mal an das es falsch ist.
Warum?Gruß,
m.
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mathematikpraktikant schrieb:
Hola!
Mal ne Frage zu Potenzmengen hab ...
Gegeben ist die Menge M:={a,b}.
Laut Literatur ist die Potenzmenge P(M) = {{}, a, b, ab}.Die Potenzmenge ist { {}, {a}, {b}, {a,b} }.
Die Leere Menge ist also in der Potenzmenge als ein eigenständiges Element enthalten,
nämlich als {}.Ja, weil jede Menge die leere Menge enthält (folgt aus der Definition der Teilmengenbeziehung).
Nun könnte man ja auf die Idee kommen, die Leere Menge zu den übrigene Elementen
der Potenzmenge hinzuzufügen und würde eine neue Potenzmenge erhalten:
P(M) = { {}, a, b, ab, a{}, b{}, ab{} }Wie kommt man auf diese Idee? M enthält doch die leere Menge nicht als Element.
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Jedes Element der Potenzmenge ist eine Teilmenge von M. Es gilt
{} teilmenge von {a,b}
aber nicht
{a,{}} teilmenge von {a,b}deswegen ist ersteres Element der Potenzmenge, letzteres nicht.
Bashar schrieb:
Ja, weil jede Menge die leere Menge enthält [...] M enthält doch die leere Menge nicht als Element.
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justAgain schrieb:
Bashar schrieb:
Ja, weil jede Menge die leere Menge enthält [...] M enthält doch die leere Menge nicht als Element.
gnah
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Naja, ich versuche es noch einmal zu formulieren:
M:={a,b}.
{} ist Teilmenge von {a,b}.
Also ich M auch gleich {{},a,b}.
Daraus kann ich die Teilmengen bilden: { {}, {a}, {b}, {a,b}, {{},a}, {{},b}, {{},a,b} }Aaaah Moment ... jetzt wo ich das gerade so tippsele ...
wenn {{},a,b} = {a,b} ist, dann ist auch {{},a} = {a}, {{},b} = {b}, {{},a,b} = {a,b}.
Daraus ergibt sich, das { {}, {a}, {b}, {a,b}, {{},a}, {{},b}, {{},a,b} } =
{ {}, {a}, {b}, {a,b} } ist.
Die Leere Menge ist also ein Element der Potenzmenge, das bei ihrer Betragsbildung gezählt wird; bei einer Menge, die keine Potenzmenge ist, ist die Leere Menge kein Element und wird nicht gezählt.
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mathematikpraktikant schrieb:
Naja, ich versuche es noch einmal zu formulieren:
M:={a,b}.
{} ist Teilmenge von {a,b}.
Also ich M auch gleich {{},a,b}.nein!
{} ist Teilmenge von {a,b}
{} ist NICHT Element von {a,b}{} ist Teilmenge von {a,b,{}}
{} ist Element von {a,b,{}}Teilmenge und Element sind verschiedene Sachen.
Und bei { {}, {a}, {b}, {a,b}, {{},a}, {{},b}, {{},a,b} } hast du etwas vergessen, denn die Potenzmenge hat immer 2^n Elemente, deine hat nur 7. finde raus, was fehlt‽
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³¼¬[ schrieb:
{} ist Teilmenge von {a,b}
{} ist NICHT Element von {a,b}
Teilmenge und Element sind verschiedene Sachen.Ok, kapiert!
³¼¬[ schrieb:
...finde raus, was fehltt‽
Hatte mich auch schon gewundert. Es fehlt: {{}}.
Danke an alle Beteiligten.
Gruß,
m.