Ganzrationale Funktion bestimmen aus Punkten



  • Hallo,

    die Funktionsgleichung einer ganzrat. Funktion kann ich aus gegebenen Punkten bestimmen. Dabei gilt, dass ich für die ganzrat. Funktion n-ten Grades n+1 Punkte brauche, um die Funktionsgleichung zu konstruieren. Die Punkte setze ich in die Formel der Gleichung n-ten Grades ein und löse auf, sei es durch Additionsverfahren / Gleichsetzung etc.

    Was ich mich jetzt gefragt habe (rein aus Interesse): Was ist, wenn ich die Funktionsgleichung einer beliebigen Kurve herausfinden möchte welche ich in einem Graphen dargestellt habe, den Grad der ganzrationalen Funktion aber überhaupt nicht weiß? Dann kann ich die Punkte ja nicht einfach in eine Formel einsetzen.

    Ich habe mir schon überlegt, ob ich über die Nullstellen irgendwie an die Gleichung rankommen könnte, indem ich sie aus Linearfaktoren zusammensetze und dann ausmultipliziere. Aber das funktioniert nicht immer, oder?

    Danke für's Lesen, hoffentlich ist die Frage nicht zu blöd!! 😉



  • Hi,

    ich gehe davon aus, dass du weißt, dass die Funktion ein Polynom ist.

    was ist deine weitere Annahme? Hast du die Funktion

    a) auf ganz R mit beschränkter Genauigkeit gegeben?
    b) auf einem (offenen) Intervall mit beliebiger genauigkeit gegeben?
    c) auf einem (offenen) Intervall mit einer beschränkten Genauigkeit gegeben?

    a) du kannst aus dem Grenzwertverhalten für x->inf die höchste Potenz von x bestimmen
    b) du kennst alle Ableitungen und kannst (mit Taylor) das Polynom rekonstruieren
    c) du kannst z.B. die gegebene Funktion mit jedem Polynom n-ten (n = 1,2,3,...) Grades interpolieren, bis der Fehler zwischen interpolierter und gegebener Funktion den fehler der gegebenen Funktion unterschreitet



  • mathefrager schrieb:

    Was ist, wenn ich die Funktionsgleichung einer beliebigen Kurve herausfinden möchte welche ich in einem Graphen dargestellt habe, den Grad der ganzrationalen Funktion aber überhaupt nicht weiß?

    Dann fängst du mit 1 unbekannten Koeffizienten c_0 an, und fügst so lange weitere Koeff. c_1, c_2, ... hinzu, bis das entstehende LGS (Interpolationsproblem) lösbar wird.


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