Brauche hilfe bei Vektorrechnung.



  • Hallo Community und frohe weinachten.

    Also ich habe hier folgende Aufgabe gegeben:

    Für welche Werte von a und b sind die folgenden drei Vektoren des R^4 linear unabhängig?

    x1 = (1, 0, a, b),
    x2 = (1, a, 1 + a, 3),
    x3 = (0,−a, 2, 1).

    Nach der Aufgabenstellung her, muss ich a und b jetzt also nun so wählen, dass die einzige Lösung die das daraus resultierende LGS haben kann, nur (0,0,0,0) ist.
    Also habe ich mir die Matrix davon aufgestellt:

    1   1    0 | 0
     0   a   -a | 0
     a (1+a)  2 | 0
     b   3    1 | 0
    

    So nun hab ich mir das hier so fein hingeschrieben, weiß jetzt aber nicht mehr weiter. Hmm... bringt mir dieser ansatz überhaupt was? oder geht das so nicht?

    Wär nett wenn ihr mir da weiter helfen könntet.

    Gruß Tobi :xmas1:



  • λ1 + μ0 + φa + ωb = 0
    λ1 + μa + φ(1+a) + ω3 = 0
    λ0 - μa + φ2 + ω1 = 0

    => lösen

    (so würde ich da jedenfalls rangehen, da du allerdings mehr unbekannte als gleichungen hast dürfte das nicht ganz leicht werden, zum ansatz per matrix kann ich nichts sagen)



  • T0bi schrieb:

    Also ich habe hier folgende Aufgabe gegeben:
    Für welche Werte von a und b sind die folgenden drei Vektoren des R^4 linear unabhängig?

    ich würde erstmal versuchen, das System zu vereinfachen; z.B. kann man x2 <-- x2 - x1 und
    dann x2 <-- x2 + x3, dann fällt schon zweimal a heraus.

    Du hast ja jetzt wohl Ferien, also jede Menge Zeit, um das selbst zu machen, und ich widme mich weiter den umfangreichen Weihnachtsfeierlichkeiten.

    :xmas1:



  • Aber ist das mit der Matrix da so nicht richtig?

    /1\
    x1 = |0|
         |a|
         \b/
    
         /1  \
    x2 = |a  |
         |1+a|
         \3  /
    
         /0 \
    x2 = |-a|
         |2 |
         \1 /
    
    daraus mach ich doch die Matrix:
     1   1    0 | 0
     0   a   -a | 0
     a (1+a)  2 | 0
     b   3    1 | 0
    
    und nicht 
    [e]lambda[/e]1 + [e]mu[/e]0 + [e]Phi[/e]a + [e]omega[/e]b = 0
    [e]lambda[/e]1 + [e]mu[/e]a + [e]Phi[/e](1+a) + [e]omega[/e]3 = 0
    [e]lambda[/e]0 - [e]mu[/e]a + [e]Phi[/e]2 + [e]omega[/e]1 = 0
    

    oder?



  • Thracian hatte doch recht *grins* muss halt meine Matrix nur noch mal transponieren *hehe* allerdings bringt mmich das loesen des LGs irendwie nicht weiter, komm nicht drauf wie ich a und b bestimmen koennte.



  • hätt'ste mal auf mich gehört :xmas1:

    mit den Vereinfachungen, die ich dir genannt habe, siehst du auf einen Blick, wie a (und dann auch b) sein muß, damit die Geschichte linear abhängig wird. 4 zusätzliche Variablen einzuführen bringt dich hier nicht weiter.



  • Wenn ich davon ausgehe das x1, x2 und x3 linear abhaengig sein sollen, kann ich ja irgendeine beliebige Linearkombination der drei nehmen, z.B. x1 - x2 = x3, dann muss ja:

    (k1 * xw1) - (k2 * xw2) = (k3 * xw3)
    (k1 * xx1) - (k2 * xx2) = (k3 * xx3)
    (k1 * xy1) - (k2 * xy2) = (k3 * xy3)
    (k1 * xz1) - (k2 * xz2) = (k3 * xz3)
    

    sein.

    Wenn ich das jetzt mal durch teste:

    1 -   1   =  0 ~> w.A.
    0 -   a   = -a ~> w.A.
    a - (1+a) =  2 ~> f.A. ( -1 [e]ne[/e] 2 ), d.h. fuer a = |R
    b -   3   =  1 ~> genau dann wenn b = 4, d.h fuer b = |R/{4}
    

    Meine Loesungsmenge waer demnach also L = {a,b | a € |R, b € |R/{4}}

    Ist das so mathematisch richtig? oder reicht dies nicht.

    EDIT:
    Finde diese Art von Loesungsweg nicht wirklich toll. Gibts da Alternativen?
    Gruß Tobi



  • T0bi schrieb:

    Finde diese Art von Loesungsweg nicht wirklich toll. Gibts da Alternativen?

    ja: in meinem gestrigen Posting. Dein k1,k2,k3-Zeug sieht nach ziemlichem Käse aus. Ein "Danke" hätte völlig gereicht. Aber das ist ohnehin die letzte Aufgabe von Dir, für die ich eine Minute verschwenden werde 💡



  • Boah nun sei doch mal nicht gleich so angekotzt, mal ehrlich es ist Weinachten das Fest der Liebe :xmas1:


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