Einfache(?) Ungleichung - komme nicht weiter

Moin, ich mache zur Zeit ein paar Übungsaufgaben, um fit im Umgang mit Ungleichungen zu werden. Bei folgender komme ich aber einfach nicht weiter:

|x| + |y| < x^2 + y^2 + 1 (x, y Element R)

Für |x|, |y| ≥ 1 ist es ja klar. Auch für |x|, |y| Element [0,1) und |x|+|y| <= 1 ist es klar.

Aber beim Fall |x|, |y| Element [0,1), |x|+|y| > 1 hänge ich fest.
Hat irgendwer einen Ansatz für mich?

|x| + |y| < x² + y² + 1 und x,y Element [0, 1) mit |x| + |y| > 1, also
|x| + |y| < x² + y² + 1 < x² + y² + |x| + |y|
=> 0 < x² + y²
■

Keine Ahnung, ob das so stimmt. Kommt mir schon zu einfach vor, habe auch erstmal dran gesessen und dann fiel es mir wie Schuppen von den Haaren.

Oha, danke. Das sieht nicht schlecht aus.

Analysis > Lin. A.

Ack.

Halt, Moment. Du zeigst ja nur |x| + |y| < x² + y² + |x| + |y| und nicht das ursprüngliche Problem, oder?

Siassei

sfe schrieb:

Moin, ich mache zur Zeit ein paar Übungsaufgaben, um fit im Umgang mit Ungleichungen zu werden. Bei folgender komme ich aber einfach nicht weiter:

|x| + |y| < x^2 + y^2 + 1 (x, y Element R)

Für |x|, |y| ≥ 1 ist es ja klar. Auch für |x|, |y| Element [0,1) und |x|+|y| <= 1 ist es klar.

Aber beim Fall |x|, |y| Element [0,1), |x|+|y| > 1 hänge ich fest.
Hat irgendwer einen Ansatz für mich?

Servus,

... Gleichung Ich bin auch nicht der größte Mathematiker, aber auf die schnelle sehe ich folgende Lösung. Ich hab diese nicht schriftl. Überprüft

Was sehen wir:
- auf beiden Seiten spielt das Vorzeichen keine Rolle
- x^2 + 1 > x : Gilt immer
-> D = (x | y) e R

@Analysis Jepp, stimmt vollkommend. Jedoch solltest du beachten, dass deine zweite Zeile nur für den Wertebereich (x | y) >= 1 stimmt. Die Aufgabenstellung lautet jedoch (x | y) Element R.

Siassei

delete

Ben04

Folgendes geht, ist aber für Ana I wahrscheinlich nicht elementar genug:

Zuerst nutzt ich aus, dass die Audrücke auf beiden Seiten gerade Funktionen in x und y sind. Es reicht also die Ungleichung für x ≥0 und y≥ 0 zu zeigen. Somit ist der Betrag schon mal weg. Nun schmeiße ich alles auf eine Seite:

|x| + |y| < x^2 + y^2 + 1, x, y aus R
<=> 0 < x^2 - x + y^2 - y + 1, x, y aus R+ mit 0

Setze f(x, y) = x^2 - x + y^2 - y + 1

f ist offensichtlich setig differenzierbar auf R^2 also kann ich den Gradient (grad f)(x, y) = vec(df(x,y)/dx, df(x,y)/dy) = vec(2x-1, 2y-1) bilden. Dann setzt ich den 0.

(grad f)(x, y) = 0 <=> x = 1/2 und y = 1/2

x=1/2, y=1/2 könnte also ein Extrema sein.

Die Hessematrix von f ist:
2 0
0 2
offensichtilich sind alle EW positiv und damit ist sie positiv definit und damit ist x=1/2, y=1/2 ein lokales Minimum. Da es keine weiteren Extrema gibt und alles schön stetig ist ist es ein globales Minimum.

Es gilt also f(1/2, 1/2) ≤ f(x, y) für alle x,y aus R und insbesondere die aus R+

f(1/2, 1/2) = 1/4 - 1/2 + 1/4 - 1/2 + 1 = 1/2 > 0

Das müsste aber auch elementarer gehen.

EDIT: Da keine Mischterme wie zum Beispiel x*y auftauchen kannst du das Argument auch mit eindimensionaler Ana führen:

Das Argument geht gleich bis da wo f auftaucht:
f(x, y) = x^2 - x + y^2 - y + 1

Setze nun g(x) = x^2 - x

Mit ein einer kleinen Funktionsdiskusion wird klar, dass -1/4 = g(1/2) ≤ g(x)

Es gilt f(x, y) = g(x) + g(y) + 1 und somit bin ich wieder bei der Abschätzung
1/2 = -1/4 -1/4 + 1 ≤ g(x) + g(y) + 1 = f(x, y)

Wenn Ableitungen nicht zur Verfügung steht musst du zeigen, dass x^2 - x ≥ -1/4 gilt. Hier könnte man eventuell mit "offensichtlichen" Parabeleigenschaften argumentieren wie zum Beispiel der Tatsache, dass das Argument des Extremas der Mittelwert der Nullstellen ist. Eventuell reicht aber auch ein einfaches "ist klar".

Ben, vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Wie du richtig vermutet hast, höre ich Ana I und kann daher noch keine Ableitungen, geschweige denn Funktionen mit mehreren Variablen, benutzen.

Deine Anmerkungen zum Schluss haben mich (zusammen mit Siasseis Post - Danke!) zu folgender Idee geführt: Man zeigt einfach, dass x < x^2 + 1/2 (z.B. mit binomischer Formel) und hat dann schon x + y < x^2 + 1/2 + y^2 + 1/2.
Da hatte ich wohl ein ziemlich großes Brett vor dem Kopf...

Einen guten Rutsch wünsche ich. :xmas1:

sfe schrieb:

Deine Anmerkungen zum Schluss haben mich (zusammen mit Siasseis Post - Danke!) zu folgender Idee geführt: Man zeigt einfach, dass x < x^2 + 1/2 (z.B. mit binomischer Formel) und hat dann schon x + y < x^2 + 1/2 + y^2 + 1/2.
Da hatte ich wohl ein ziemlich großes Brett vor dem Kopf...

Hallo,

die Abschätzung ist zu grob; -- folglich dein Ergebnis falsch.

is' doch ganz einfach:

zunächst nehmen wir an x,y >= 0 (da nur Beträge und Quadrate vorkommen, reicht das)

Außerdem interessiert sich sfe nur noch für x,y <= 1.

bei festgehaltenem y in [0,1] hat die Gleichung x + y = x^2 + y^2 +1 folgende Lösungen:

(p-q-Formel)

x_(1/2) = 1/2 +/- sqrt[ 1/4 - (y^2-y+1) ]

y^2-y+1 ist aber in [0,1] immer >= 3/4, also ist das, was unter der Wurzel steht, negativ.

Gibt also keine Lösung für x.

Aus Stetigkeitsgründen muß also x+y unabhängig von x,y in [0,1]x[0,1] größer oder kleiner als x^2+y2+1 sein. Welche der beiden Möglichkeiten zutrifft, brauche ich wohl nicht hinzuschreiben. :xmas2:

Vorausgesetzt, ich habe mich nicht verrechnet ....

@sfe: keine Ursache, mach' ich doch gern.