Gauß'sches Eliminationsverfahren / Basis eines Vektors

SideWinder

Ich soll zeigen, dass die drei Vektoren (1,2,4) (2,4,1) (4,2,1) eine Basis von R³ darstellen. Dazu will ich zeigen, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Ergibt folgendes lineares Gleichungssystem:

x + 2y + 4z = 0
2x + 4y + 2z = 0
4x + y + z = 0

Händisch schnell ausgerechnet zeigt sich, dass die einzige Lösung x=y=z=0 ist => die drei Vektoren sind linear unabhängig.

Nun sollen wir aber alle Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens lösen. Das heißt umformen der erweiterten Systemmatrix:

1 2 4 0
2 4 2 0
4 1 1 0

1   2    4  0
0   0   -6  0
0  -7  -15  0

1   2    4  0
0  -7  -15  0
0   0   -6  0

Gut, untere Dreiecksform erreicht.

r ... Rang der Matrix ... 3
m ... Zeilen der Matrix ... 3
n ... Spalten der Matrix ... 4

Nun steht aber in meinem Buch folgendes:

Fall 1: Ist r < m ... blubb, nicht der Fall

Fall 2: Ist r = n ... blubb, nicht der Fall

Fall 3: Ist nach dem Streichen der Nullzeilen r < n, so gibt es (im Fall eines unendlichen Körpers K) unendlich viele Lösungen.

Aber ich habe doch eigentlich nur eine Lösung?! Wo sind die anderen Lösungen? Was habe ich falsch gemacht?

Zusatzfrage: Reicht das, um zu zeigen, dass es sich um eine Basis des Vektors handelt? Was muss ich noch zeigen?

MfG SideWinder

volkard

SideWinder schrieb:

n ... Spalten der Matrix ... 4

ob mit den spalten nicht nur die variablenspalten gemeint sind, oder die rechte seite auch gemein ist, halte ich für überlegenswert.

SideWinder

Oh. Danke für den Hinweis, du hast recht. Dann gibt es genau eine Lösung und zwar die triviale Lösung x=y=z=0.

Trotzdem bleibt meine zweite Frage aufrecht: Reicht das bereits für die Basis aus oder muss ich da noch mehr zeigen?

MfG SideWinder

volkard

SideWinder schrieb:

Oh. Danke für den Hinweis, du hast recht. Dann gibt es genau eine Lösung und zwar die triviale Lösung x=y=z=0.
Trotzdem bleibt meine zweite Frage aufrecht: Reicht das bereits für die Basis aus oder muss ich da noch mehr zeigen?
MfG SideWinder

neulich hat mich einer im RL auch danach gefragt. ich schlug vor, die beiden bedingungen
- die vektoren der basis müssen linear unabhängig sein
- jeder vektor des raums läßt sich als linearkombi der basisvektoren ausdrücken
zu prüfen. die bedingungen standen so in der formelsammlung.
die erste war schhnell geprüft, genau wie bei dir.
die zweite war ein wenig doof. naja, man nehme einen beliebigen vektor (e,f,g) und schaue, on das LGS a*(1,2,4)+b*(2,4,1)+c*(4,2,1)=(e,f,g) lösbar ist.
und es klappt. auf der rechten seite entstehem halt terme wie (e-4g)/3+2f, aber wenn man sich erstmal überwunden hat, das zuzulassen, geht der gauss schnuffig durch.

in der mustelösung war die zweite bedingung aber gar nicht dabei. laut musterlösung (TU Darmstadt, Name des Profs weiß ich nicht) bist du fertig.

volkard

SideWinder schrieb:

Gut, untere Dreiecksform erreicht.

nee, du hast die obere gebaut.
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix

Bashar

Eine Basis ist ein linear unabhängiges (1) Erzeugendensystem (2) eines Vektorraumes. (1) hast du gezeigt, (2) noch nicht. Es gibt aber einen Satz, dass für einen n-dimensionalen (n < oo) Vektorraum n linear unabhängige Vektoren bereits eine Basis darstellen.

SideWinder

Bashar schrieb:

Eine Basis ist ein linear unabhängiges (1) Erzeugendensystem (2) eines Vektorraumes. (1) hast du gezeigt, (2) noch nicht. Es gibt aber einen Satz, dass für einen n-dimensionalen (n < oo) Vektorraum n linear unabhängige Vektoren bereits eine Basis darstellen.

Ah, okay, habe ich im Buch nach etwas intensiverer Suche auch noch gefunden. Es reicht dann also was ich gezeigt habe, danke.

MfG SideWinder

Jester

volkard schrieb:

- die vektoren der basis müssen linear unabhängig sein
- jeder vektor des raums läßt sich als linearkombi der basisvektoren ausdrücken
zu prüfen. die bedingungen standen so in der formelsammlung.
die erste war schhnell geprüft, genau wie bei dir.
die zweite war ein wenig doof. naja, man nehme einen beliebigen vektor (e,f,g) und schaue, on das LGS a*(1,2,4)+b*(2,4,1)+c*(4,2,1)=(e,f,g) lösbar ist.

Da kommts aber nur auf die Koeffizienten-Matrix an und da die vollen Rang hat (wie Sidewinder schon nachgerechnet hat) ist sie invertierbar und damit das LGS für jede rechte Seite lösbar. Mit e,f,g braucht man da nicht rumhampeln.