Frage zu Ableitungen in der Differentialrechnung

Ishildur

Hallo zusammen
Ich beschäftige mich wieder einmal mit der Differentialrechnung und habe dazu folgende Aufgaben gesehen:

1. ((x+1)^3)/x Differenziere mit der Potenzregel
Also muss man hier nicht Quotientenregel anwenden? Wie kann ich hier mit der Potenzregel vorgehen?

2. (x^2+1)/(x2-1) Differenziere mit der Kettenregel
Hier wieder, muss ich hier nicht die Quotientenregel anweden? Wie um alles in der Welt kann man diese Funktion in zwei separate verkettete Funktionen zerlegen?

Mfg

volkard

Ishildur schrieb:

1. ((x+1)^3)/x Differenziere mit der Potenzregel
Also muss man hier nicht Quotientenregel anwenden? Wie kann ich hier mit der Potenzregel vorgehen?

erst den zähler ausmultiplizieren
(x^3+3x2+3x+1)/x
dann dividieren
x^2+3x+3x+1/x
dann umschreiben
x^2+3x+3x+x-1
dann differenzieren

Ishildur schrieb:

2. (x^2+1)/(x2-1) Differenziere mit der Kettenregel

d/dx f(x^2) = d(x^2)/dx * f'(x^2)

volkard schrieb:

Ishildur schrieb:

1. ((x+1)^3)/x Differenziere mit der Potenzregel
Also muss man hier nicht Quotientenregel anwenden? Wie kann ich hier mit der Potenzregel vorgehen?

erst den zähler ausmultiplizieren
(x^3+3x2+3x+1)/x
dann dividieren
x^2+3x+3x+1/x
dann umschreiben
x^2+3x+3x+x-1
dann differenzieren

Ausmultiplizieren ist der Deppenweg.

Wie nicht anders von dir zu erwarten...

Ausmultiplizieren ist der Deppenweg.

Wie nicht anders von dir zu erwarten...

Warum so unfreundlich?

1. ((x+1)^3)/x Differenziere mit der Potenzregel
Also muss man hier nicht Quotientenregel anwenden? Wie kann ich hier mit der Potenzregel vorgehen?

Ich merk mir nie den Unterschied zwischen Potenz- und Exponenzregel.
Allgemein fallen die so zusammen:

(%i1) diff(a(x)^b(x), x);
                                                      d
                                                b(x) (-- (a(x)))
                  b(x)             d                  dx
(%o1)         a(x)     (log(a(x)) (-- (b(x))) + ----------------)
                                   dx                 a(x)

Für konstante Exponenten ist sie allgemein bekannt.
(Ich glaube, daß sie dann Potenzregel heißt)
Also:

((x+1)^3)' = 3 * (x + 1)^2

Dann bleibt nur noch die Verkettung mit der Division durch x.

2. (x^2+1)/(x2-1) Differenziere mit der Kettenregel
Hier wieder, muss ich hier nicht die Quotientenregel anweden? Wie um alles in der Welt kann man diese Funktion in zwei separate verkettete Funktionen zerlegen?

Da fallen Ketten- und Quotientenregel zusammen:

a(x)/b(x)

ist eine Verkettung, die genau auf die Quotientenregel hinausläuft.
Weil es sich nicht auszahlt, die Addition von 1 zu verketten,
würdest du einfach die Quotientenregel herleiten, wenn du die Diff-Quotienten
multiplizierst.