Integration durch substitution



  • Hallo !

    Kann mir jemand erklären wie das richtig funktioniert ?
    Durch den Wiki-beitrag werd ich auch nicht gerade viel schlauer 😞

    Bei Substitution ersetzt man doch einen Ausdruck durch z.b. u, aber wie funktioniert das dann mit dem du ??

    Was bedeutet das du ??

    Kann ich jeden Ausdruck als u anschreiben oder muss man was beachten ??

    Irgendwie versteh ich den sinn dahinter nicht: ich ersetzte einen ausdruck durch 'u' und integriere dann, warum verpack ich den ausdruck aber in u ? ich kann ja genau so gut ohne dem u integrieren?



  • Ich mache mal ein Beispiel:

    I = integral 2x / (x^2 + 3) dx

    Sieht unfein aus. Also Substituiere ich mal den Nenner, vielleicht hilft es ja.

    u = x^2 + 3

    Dann ist du/dx = 2x, also du = 2x dx

    Einsetzen in das Integral

    I = integral 1 / u du

    hoppla, sieht viel schöner aus. Das Integral kenne ich, also

    I = ln(u) + C = ln(x^2 + 3) + C

    Und fertig. Alles klar? Sonst frag!



  • Vielen dank für das Beispiel, aber genau bei dem du/dx = 2x häng ich irgendwie 😕

    warum ist du/dx = 2x ?? bedeutet das etwa x²+3 differenziert ?? sry für die blöde frage, aber in unserem Mathebuch wird nur kurz angeschnitten



  • Meinst du dieses hier ?

    Sei F Stammfunktion von f, also F' = f und u irgendeine differenzierbare Funktion.

    Da nach der Kettenregel die zusammengesetzte Funktion F o u Stammfunktion von f(u(x)) * u'(x) ist, gilt:

    Int_a^b f(u(x)) * u'(x)dx = (F o u)(b) - (F o u)(a) = F(u(b)) - F(u(a))

    Andererseits gilt natürlich

    F(u(b)) - F(u(a)) = Int_u(a)^u(b)f(x)dx

    Zusammengenommen gilt also:

    Int_u(a)^u(b) f(x)dx = Int_a^b f(u(x)) * u'(x)dx

    Das ist die Begründung der partiellen Integration mit der Substitution u.

    Das Beispiel von Taurin entsteht mit u(x)=x^2+3.



  • Zur Schreibweise: du/dx ( sprich: deh uh nach deh ix 🙂 ) bedeutet: Leite die Funktion u nach x ab. Den Beweis für deine Integrationsregel hat dir u_ser-l hingemalt.

    Versuche doch mal, eine Stammfunktion von (x^2 + 1) / (x^3 + 3x) auszurechnen. Das geht fast so wie bei meinem Beispiel.

    Und wenn du das kannst, rechnest du mal (etwas anspruchsvoller) das Integral von sqrt(1-x^2) mit den Grenzen x=0..2*pi aus.

    Wenn du Tipps brauchst, frag einfach.



  • Danke !! 🙂 Das hilft mir schon mal weiter.

    Den Beweis muss ich mir morgen nochmal in Ruhe anschaun.

    bei (x^2 + 1) / (x^3 + 3x) bekomm ich die Stammfunktion 3 * ln(x^3 + 3x) heraus, hier habe ich den Nenner substituiert.
    Was mir dabei aufgefallen ist, ist es absicht dass der Nenner nach dem Ableiten so aussieht wie der Zähler ? (in dem Fall 3* (x^2 +1) ) und dann den zähler durch du ersetzen ?

    Beim anderen Beispiel sqrt(1-x^2) versteh ich nicht ganz wie ich da vorgehen muss, ich würde 1-x^2 substituieren



  • Die Beispiele mit den Brüchen waren schon so konstruiert, dass es hübsch aufgeht 🙂 Aber dein Ergebnis ist richtig!

    Für sqrt(1-x^2): Erstmal versuchst du, 1-x^2 zu substituieren. Wo ist das Problem dabei? Dann schaust du dir mal die Formal sin(y)^2 + cos(y)^2 = 1 an. Vielleicht hilft das ja 🙂



  • 🙂 Also ich versteh bei dem 2. Beispiel nicht wie ich du richtig einsetze.

    u = 1-x^2

    du/dx = -2x -> du = -2x * dx

    Int_ sqrt(u) du kann ich ja jetzt nicht einfach verwenden, die -2x stören hier oder ?



  • Ah, wir kommen der Wahrheit näher: Bei der Substitutionsregel führt leider nicht jede Substitution zum Ziel, weil diese inneren Ableitungen oft nicht so hübsch aufgehen (hier deine -2x).

    Aber ich bin ja ein netter Kerl und gebe dir mal einen Tipp:
    die Gleichung 1 = cos(u)^2 + sin(u)^2 kann man auch schreiben als 1 - sin(u)^2 = cos(u)^2

    Bring dich das auf eine Idee?

    (Ich gehe mal davon aus, dass du den Satz des Pythagoras 1 = cos(u)^2 + sin(u)^2 kennst?)


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