Taylorreihe sin(x²)/x



  • Als Lösungsvorschlag zur Taylorreihe sin(x²)/x im Punkt x=0 haben wir folgenden Lösungsansatz erhalten: Taylorreihenentwicklung von sin(u), danach einfach u=x² setzen und durch x dividieren.

    Warum aber ist das möglich? Bei der Division kann ich mir das ja noch vorstellen, aber wieso kann ich einfach sin(x²) = sin(u) setzen und auf sämtliche inneren Ableitungen verzichten?

    Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

    MfG SideWinder



  • Vergiss doch erstmal die Taylor-Fromel mit den ganzen lustigen Ableitungen.
    Dann hast du sowas auf deinem Papier stehen wie

    sin(u) = u - u^3 / 3! + u^5 / 5! -+ ....

    Beide Seiten sind gleich. Dann wählst du u = x^2. Kann dich ja keine daran hindern. Das setzt du ein in deine Gleichung. Und dann sind immer noch beide Seiten gleich.

    sin(x^2) = x^2 - x^6 / 3! + x^10 / 5! -+ ....



  • Aber warum ist es dann immer noch gleich? Warum fehlt die innere Ableitung nicht in der Taylor-Formel?

    MfG SideWinder



  • Ich habe dir doch gesagt, du sollst die Taylor-Formel vergessen 🙂

    Wenn du eine Gleichung hast mit

    2*u = u + u

    und du dann da u = x^2 einsetzt, wirst du doch auch nicht daran zweifeln,
    dass

    2*x^2 = x^2 + x^2

    ist, oder?

    Wenn du das dann immer noch nicht einsiehst, dass

    sin(x^2) = x^2 - x^6 / 3! + x^10 / 5! -+ ....

    gilt, musst du wohl mal in den sauren Apfel beissen und die ersten drei oder vier Ableitungen von sin(x^2) nach x auszurechnen und in deine doofe Taylorformel einzusetzen. Wenn du dich nicht verrechnest, glaubst du mir vielleicht mehr 🙂



  • Ach ja... wenn du den langen Weg gehst über die Taylorformel, brauchst du natürlich deine inneren Ableitungen. Aber weil das so mühsam ist, habt ihr den Tipp bekommen, dass über die Sinusreihe um x0 = 0 zu machen.

    Aber ohne zu rechnen kann ich dir sagen, dass die ersten 5 Ableitungen von sin(x^2) an der Stelle x = 0 fast alle verschwinden. Rate mal, welche nicht! 🙂



  • f(x) = sin(x)
    f'(x) = cos(x) -> f'(0) = 1
    
    f(x) = sin(x²)
    f'(x) = cos(x²) * 2x -> f'(0) = 0
    

    ?

    MfG SideWinder



  • Das sieht doch nicht so schlecht aus. Was steht denn bei der Taylorreihe

    sin(x^2) = x^2 - x^6 / 3! + x^10 / 5! -+ ....

    vor dem x^1 ?

    Wenn du jetzt die zweite Ableitung von sin(x^2) an der Stelle x=0 ausrechnest, was muss dann da rauskommen? Was bei der dritten, vierten, fünften Ableitung? Oder bei der sechsten?



  • Okay, ich habe mir die Mühe wirklich gemacht 🙂 Es stimmt bei f2 bei f6 und bei f10 kommen die Koeffizienten und die gehören da auch hin.

    Wahrscheinlich stehe ich nur gerade auf der Leitung: Aber warum ist das der Fall? Es kommen ja defintiv Ableitungen bei Taylor vor, warum ergibt sich das trotzdem, dass ich x² = u substituieren kann ohne etwas falsch zu machen?

    MfG SideWinder



  • taylor f(g(x)) = summe_i fg_i x^i / i!
    
    aber auch
    f(g) = summe_j f_j g^j / j!
    und 
    g(x) = summe_k g_k x^k / k!
    mit fg_i, f_j g_k den taylor-koeffizienten
    
    damit aber
    
    f(g(x)) = summe_j f_j (summe_k g_k x^k / k!)^j / j! 
    das ist eine potenzreihe von x, genau wie die erste formel. laut satz aus der analysis müssen die koeffizienten gleich sein.
    

    anschaulich entwickelst du sin() und x^2 einzeln nach taylor, wobei das zweite trivial ist, und packst dann die zweite daylorentwicklung in die reihe der ersten. dann sortierst du wieder nach x-potenzen (wieder trivial, dank x^2).
    da die entstehende reihe gegen f(g(x)) konvergieren muss (setzt man voraus) sind die koeffizienten dieselben, wie die durch ableitung entstandenen. das sieht man sicher auch, wenn man dn/dxn f(g(x)) ausrechnet, da hab' ich jetzt keine lust. ist vielleicht ne gute induktionsaufgabe.



  • SideWinder schrieb:

    Wahrscheinlich stehe ich nur gerade auf der Leitung: Aber warum ist das der Fall? Es kommen ja defintiv Ableitungen bei Taylor vor, warum ergibt sich das trotzdem, dass ich x² = u substituieren kann ohne etwas falsch zu machen?

    Das tust du 🙂

    Mups schrieb:

    Wenn du eine Gleichung hast mit

    2*u = u + u

    und du dann da u = x^2 einsetzt, wirst du doch auch nicht daran zweifeln,
    dass

    2*x^2 = x^2 + x^2

    ist, oder?

    Hast du das eingesehen? Dann gilt nämlich auch

    Mups schrieb:

    Vergiss doch erstmal die Taylor-Fromel mit den ganzen lustigen Ableitungen.
    Dann hast du sowas auf deinem Papier stehen wie

    sin(u) = u - u^3 / 3! + u^5 / 5! -+ ....

    Beide Seiten sind gleich.

    Bist du noch bei mir? Dann ist der letzte Schritt ganz einfach:

    Mups schrieb:

    Dann wählst du u = x^2. Kann dich ja keine daran hindern. Das setzt du ein in deine Gleichung. Und dann sind immer noch beide Seiten gleich.

    sin(x^2) = x^2 - x^6 / 3! + x^10 / 5! -+ ....

    Es gibt mehr als nur einen Weg zum Ziel. Der eine mit deinen ganzen Ableitungen und der andere einfach durch einsetzen in eine Gleichung.



  • Ich glaube, ihm ist schon klar, dass diese Reihe gegen seine Funktion konvergiert, er fragt sich nur, warum es nun auch gerade die Taylorreihe seiner Funktion ist.


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