Integral



  • Folgendes sollen wir durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Zwischensumme (= Integral) berechnen:

    1       n
    lim  =  --  *   [e]Sigma[/e] Sqrt( k*( n-k ) )
    n[e]rarr[/e][e]infin[/e]     n²     k=1
    

    Die Riemannsche Zwishcensumme ist die Summe aller Rechtecke unter der Kurve. Bei n-Rechtecken von den Grenzen a bis b wär die Formel (die Breite der Rechtecke bereits aus der Summe herausgezogen):

    b-a    n           b-a
    A = --- *  [e]Sigma[/e] f(a + k * ---)
         n    k=1           n
    

    Nun geht's ans vergleichen. Ein n aus n² muss ich wohl wieder in die Summe hineinziehen, damit das halbwegs gleich aussieht. Dann scheint sich b-a = 1 zu ergeben (aber muss das so sein?!) Aber dann?

    Die Lösung sagt mir, dass a=0 und b=1 ist.

    Sobald man erst einmal auf das Integral (sollte f(x) = wurzel ( x*(1-x) ) sein wobei x = k/n) komme, ist der Rest zwar langwierig aber kein Problem mehr. Aber wie komme ich auf das Integral?!

    MfG SideWinder



  • SideWinder schrieb:

    Folgendes sollen wir durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Zwischensumme (= Integral) berechnen:

    1       n
    lim  =  --  *   [e]Sigma[/e] Sqrt( k*( n-k ) )
    n[e]rarr[/e][e]infin[/e]     n²     k=1
    

    Die Riemannsche Zwishcensumme ist die Summe aller Rechtecke unter der Kurve. Bei n-Rechtecken von den Grenzen a bis b wär die Formel (die Breite der Rechtecke bereits aus der Summe herausgezogen):

    b-a    n           b-a
    A = --- *  [e]Sigma[/e] f(a + k * ---)
         n    k=1           n
    

    Nun geht's ans vergleichen. Ein n aus n² muss ich wohl wieder in die Summe hineinziehen, damit das halbwegs gleich aussieht. Dann scheint sich b-a = 1 zu ergeben (aber muss das so sein?!) Aber dann?

    Die Lösung sagt mir, dass a=0 und b=1 ist.

    Sobald man erst einmal auf das Integral (sollte f(x) = wurzel ( x*(1-x) ) sein wobei x = k/n) komme, ist der Rest zwar langwierig aber kein Problem mehr. Aber wie komme ich auf das Integral?!

    MfG SideWinder

    Das Integral ist der Wert der am Ende raus kommt, ich glaube du meinst da gerade die Berechnung über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (aka. Stammfunktion).



  • Schlampigkeit meinerseits.

    MfG SideWinder



  • SideWinder schrieb:

    Nun geht's ans vergleichen. Ein n aus n² muss ich wohl wieder in die Summe hineinziehen, damit das halbwegs gleich aussieht. Dann scheint sich b-a = 1 zu ergeben (aber muss das so sein?!) Aber dann?

    Die Lösung sagt mir, dass a=0 und b=1 ist.

    Naja, nimm halt deinen Ausdruck von vorhin und guck dir an, was Du gemacht hast:

    Sum(sqrt(...)/n^2) = 1/n Sum(sqrt(...)/n)

    Du hast 1/n ausgeklammert. Was passiert denn, wenn Du zB. 27/n ausklammerst? Dann ist b-a=27, aber in der Summe ist auch noch was passiert. "Substitutionsregel".



  • Zieh das 1/n was du ausgeklammert hast in die Wurzel mit rein, dann hast du da sqrt(k/n * (1-k/n)) und mit a = 0 und b = 1 kommst du dann drauf fass f = sqrt(x*(1-x)) ist


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