Beweis: Wurzel aus 3 ist irrational



  • Hallo,

    ich habe folgenden Beweis im Internet gefunden, dass sqrt(3) irrational ist.
    Es wird angenommen, dass sqrt(3) rational ist, somit durch einen Bruch p/q darstellbar.
    Also ist:

    3 = p²/q²
    3q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 3 teilbar sind, also ist p=3x
    3q² = 9p²
    q² = 3p²

    Es sei nun bewiesen, dass q und p nicht teilerfremd sind, Widerspruch => sqrt(3) ist irrational.
    Nun verstehe ich zwar den Vorgang, aber meiner Meinung nach beweist er nichts. Oder habe ich etwas falsch verstanden? Genauso könnte ich doch beweisen, dass sqrt(9) irrational ist, obwohl diese Wurzel 3 ergibt:

    9 = p²/q²
    9q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 9 teilbar sind, also ist p=9x
    9q² = 81p²
    q² = 9p²

    p und q nicht teilerfremd, Widerspruch: sqrt(9) ist irrational 🙄

    Kann mir jmd erklären, was ich falsch gemacht habe? Oder ist der gefundene Beweis im Internet von sqrt(3) Schwachsinn?



  • 3q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 3 teilbar sind

    ⚠ ⚠ ⚠



  • Dachte ich mir... wie funktioniert der richtige Beweis?



  • Schaue mal nach Wurzel aus 2. Das selbe wendest du auf Wurzel aus 3 an.
    Das Beweisverfahren ist für jede Zahl gleich.



  • OK, verständlicher wie hier http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_3 gehts nicht. Habe es nun gerallt 🙂



  • Der "errordetector" hat aber zu unrecht ausgeschlagen. Der Beweis ist korrekt, wenn auch etwas kurz.



  • @Jockelx: Dann stimmt ja auch mein zweiter Beweis im ersten Posting, der besagt: Wurzel aus 9 ist irrational, was aber nicht stimmt.



  • Nö, du hast den Beweis nur nicht richtig verstanden.
    Mach dir nochmal klar, was da eigentlich gezeigt wird:

    Es wird gezeigt, dass sowohl p als auch q den Primfaktor 3 haben müssen, was dann zum
    Widerspruch zur Teilerfreiheit steht.

    Beim unteren hast du nichts gezeigt, ausser dass p eine 3 als Primfaktor haben müsste.
    Das 3 ein Primfaktor von q ist, lässt sich daraus nicht herleiten (zum Glück ;-))



  • Beweis-Man schrieb:

    3 = p²/q²
    3q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 3 teilbar sind, also ist p=3x
    3q² = 9p²
    q² = 3p²

    In den letzten beiden Zeilen muss es jeweils x statt p heissen.

    9q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 9 teilbar sind, also ist p=9x

    Der Schluss stimmt so nicht.



  • Genauer:

    9 = p²/q²
    9q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 9 teilbar sind, also ist p=9x

    Nein, das bedeutet das nicht. Z.B. gilt das auch für q=1, p=3.



  • 3q² = p², bedeutet, dass p² und somit p durch 3 teilbar sind, also ist p=3x

    Der Schritt gilt nur weil 3 prim ist. Allgemein gilt er nur für Zahlen, in denen kein Primfaktor doppelt vorkommt. Der Grund ist einfach: der Primfaktor (bzw. die Primfaktoren) stecken in p², also stecjt er in p*p. Da er aber nicht in einem p stecken kann und im anderen nicht, muss er in beiden stecken. Bei dem Beweis mit 9 gilt das aber nicht, denn wenn p² durch 9 teilbar ist heißt das nur, dass p durch 3 teilbar sein muss, weil zweimal der gleiche primfaktor vorkommt.


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