Normales Integral, Problem



  • Jetzt hab ich doch noch ein Problem ein "normales" Integral zu lösen:

    2x² * sqrt(1-x²)  -  2/3 * (1-x²) * sqrt(1-x²)
    

    Hilfreiche Vorschläge?

    MfG SideWinder



  • Maxima sagt beim bilden des unbestimmten Integrals (falls das deine Frage war)

    - 2/3 * x * (1-x^2)^(3/2)
    


  • keine ahnung, obs hilft.
    erstmal sqrt(1-x^2) ausklammern und dann die konstante -2/3 ausklammern und vor das integral stellen.
    -2/3* integralx[ (1-4*x2)*sqrt(1-x2) ]

    weiter nurnoch mit
    integralx[ (1-4*x2)*sqrt(1-x2) ]
    x:=cos(z)

    -1 * integralz[ (1-4*cos(z)^2) * sin(z)^2 ]
    =?
    cos(z)*sin(z)^3

    =x*sqrt(1-x2)3

    nur wie geht der schritt mit dem =?
    riecht nach partieller integration, finde ich.



  • Wie waere es damit?

    X = [e]int[/e](2x^2 (1 - x^2)^(1/2) - 2/3 (1 - x^2) (1 - x^2)^(1/2))dx
    
    = [e]int[/e] (1 - x^2)^(1/2) * (2x^2 - 2/3 (1 - x^2)) dx
    
    u(x) := (1 - x^2)^(1/2)
    v'(x) := (2x^2 - 2/3 (1 - x^2))
    
    X = [e]int[/e] u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - [e]int[/e] u'(x) v(x) dx
    
    v(x) = [e]int[/e](2x^2 - 2/3 (1 - x^2)) dx
    v(x) = [e]int[/e](5/3 x^2 - 2/3) dx
    v(x) = 5/9 x^3 - 2/3x
    
    u'(x) = d ((1 - x^2)^(1/2))/dx = (-2x)/(2 (1 - x^2)^(1/2)) = x (1 - x^2)^(-1/2)
    
    X = (5/9 x^3 - 2/3x) (1 - x^2)^(1/2) - [e]int[/e]  x (1 - x^2)^(-1/2) (5/9 x^3 - 2/3x) dx
    
    A := (5/9 x^3 - 2/3x) (1 - x^2)^(1/2)
    B := [e]int[/e]  x (1 - x^2)^(-1/2) (5/9 x^3 - 2/3x) dx
    
    B = [e]int[/e] (5/9 x^4 - 2/3 x^2) (1 - x^2)^(1/2) dx
    
    u := x^2
    du/dx = 2
    du = 2 dx
    
    B = [e]int[/e] (5 u^2 - 6u) (1 - u)^(1/2) du
    
    B = 5[e]int[/e]u^2/(1 - u)^(1/2) du - 6 [e]int[/e]u/(1 - u)^(1/2) du
    
    [e]int[/e]u^2/(1 - u)^(1/2) du = (-x)/2 (1 - u)^(1/2) + 1/2 arcsin (u)
    [Bronstein 1.1.3.3 No. 166]
    
    [e]int[/e]u/(1 - u)^(1/2) du = (-1) (1 - u)^(1/2)
    [Bronstein 1.1.3.3 No. 167]
    

    Nachrechnen und Zusammenfassen musst Du selber.



  • volkard schrieb:

    riecht nach partieller integration, finde ich.

    nein,
    am anfang nicht ausklammern aber x^2 = sin^2(z) substituieren, dann hast du die integrale

    sin^2(z) cos^2(z) = (1/2 sin(2*z))^2 = 1/4 * 1/2 * (1 + sin(2z))
    -> 1/8 (z - 1/2 * cos(2
    z))

    zweites ist
    cos^4(z) = ( 1/2 (1 + cos( 2 * z )))^2 = ... usw, bis nur cos^1 übrigbleiben



  • Ich kann dir sagen was der Rechner als Integral ausspuckt.
    Aber nicht wie mans berechnet:

    (- (2·x·(1 - x2)(3/2))/3)

    (Berechnet mit Derive Version 5)

    Edit: Ohh steht schon oben, habs nicht gesehen...


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