Frage zu Fakultät



  • Hallo,
    Ich habe zwei Fragen zur Berechnung der Fakultät von rationale Zahlen. Ich weis, dass es einige Verfahren gibt, die Fakultät näherungsweise zu bestimmen.
    Ist das Ergebnis der Fakultät einer rationalen Zahl immer eine irrationale Zahl?
    Und gibt es einen Algorithmus, der die Fakultät exakt bis auf die xte Nachkommastelle berechnet (wie z.B. "schriftliches" Wurzelziehen)?



  • Du meinst wohl die Gamma-Fkt.:

    http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html



  • ich kenne mich leider in der Zahlentheorie nicht so gut aus. Und auch komplexe Zahlen kenne ich nur vom Hörensagen her.
    Aber wenn ich mir diese Funktion so anschaue sieht dass so aus, als wäre jede Fakultät einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl. Stimmt das?



  • Aus der algebraischen Unabhängigkeit von pi und e^pi ergibt sich jedenfalls, dass mindestens eine der Zahlen Gamma(x) und Gamma(-x) transzendent ist.
    Aus der Irrationlität von pi folgt immerhin schon die Irrationalität von Gamma(a/n) für ein 0 < a < n.



  • Γ(12)=πΓ(x)Γ(1x)=πsinπx\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}

    sieht auch nicht wirklich rational aus

    aber: "... als wäre jede Fakultät einer rationalen Zahl eine irrationale Zahl. ...",
    das stimmt so nicht, denn jede natürliche Zahl ist rational, und Fakultäten
    natürlicher Zahlen sind natürlich natürlich.



  • $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$\\ $\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$

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