Frage zur Äquivalenz - Schreib-/Denkweise.



  • M sei eine Menge und R eine Relation auf M.

    Beweisen Sie:

    RlinearRR1=M×M.R linear \Longleftrightarrow R \cup R^{-1} = M \times M.

    Beweis:

    R linear \Longleftrightarrow \forall x,y \in M:(xRy \lor yRx) \newline \Longleftrightarrow \forall x,y \in M: ((x,y) \in R \lor (x,y) \in R^{-1}) \newline \Longleftrightarrow M \times M \subset R \cup R^{-1}

    Hallo,
    wie kommt man denn von der vorletzten zur letzten Zeile?
    Das die letzte Zeile inhaltlich stimmt ist mir ja irgendwie klar, aber
    hat man diesen Schritt absichtlich weggelassen:
    (x,y)M×M(x,y)RR1(x,y) \in M \times M \Longrightarrow (x,y) \in R \cup R^{-1}
    ?
    Wurde aus dem Doppelpunkt in der vorletzten Zeile des Beweises das Symbol für die Implikation?
    Gibt es Regeln für solche 'Symbolverwandlungen' oder kann man Symbole schreiben welche man will, Hauptsache es ist äquivalent?



  • der Doppelpunkt bedeutet im Zusammenhang der vorletzten Zeile: "... gilt: ..."

    ("für alle x,y in M gilt: (x,y) in R oder (x,y) in R^-1")

    - und dann beachten, daß für beliebige Mengen A, B "ABA\subseteq B" dasselbe bedeutet wie "xAxBx\in A\Longrightarrow x\in B".



  • in diesem Fall mit $$A=M\times M$$ und $$B=R\cup R^{-1}.$



  • Wie kann denn bei einer linearen Relation

    M×MRR1M\times M \subset R\cup R^{-1}

    (sprich echte Teilmenge) gelten? Hier kann es doch nur eine Gleichheit geben.

    Gruß



  • Borschtsch schrieb:

    Wie kann denn bei einer linearen Relation

    M×MRR1M\times M \subset R\cup R^{-1}

    (sprich echte Teilmenge) gelten? Hier kann es doch nur eine Gleichheit geben.

    Gruß

    \subset ~ \equiv ~ \subseteq ~ \equiv ~ \underline{\subseteq} ~ \not\equiv ~ \subsetneq ~ \equiv ~ \begin{array}[c]{} \subset \\ \neq \end{array}



  • Ich hab auch schonmal gesehen, dass jemand \subseteq für die Teilmenge und \subset für die echte Teilmenge eingeführt hat. Der hat dann aber im weiteren Verlauf das Symbol \subset nicht mehr verwendet. Sonst hätte er wohl gemerkt, dass sowas grober Unfug ist 😉



  • wer Zweideutigkeiten vermeiden will, kann ja $$\subseteq$$ und $$\stackrel{\subset}{\neq}$$ nehmen.

    Aber ich stimme zu, die zweifache Interpretierbarkeit von $$\subset$$ ist unschön.


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