Ordnung der Elemente einer Gruppe



  • Hi!

    Wir haben gerade mit Ordnungen von Elementen einer Gruppe angefangen, nur komm ich bei einer scheinbar einfachen Aufgabe nicht ganz weiter:

    Und zwar ist (G,*) eine (NICHT kommutative) Gruppe und a,b sind Elemente dieser Gruppe.
    Jetzt soll ich zeigen, dass gilt: ord(a*b) = ord(b*a).

    Mein Ansatz war jetzt, dass (a*b)^m = e und (b*a)^n = e. (e ist das neutrale Element in G). Und zu zeigen ist, dass m = n gelten muss.
    Meine Überlegung war, dass man die Terme irgendwie so umformen muss, dass man am Ende eine Aussage treffen kann, dass das ganze nur gilt, wenn m = n.

    Aber wie schon gesagt, dabei fehlen mir jetzt absolut weitere Ideen/Ansätze.

    Kann mir da jemand weiterhelfen?

    Vielen Dank im Voraus!

    Gruß,
    Tim



  • Von links mit a^-1 und von rechts mit a multiplizieren fiele mir ein.



  • schon gut 🙂 danke!



  • Konjugierte Elemente haben dieselbe Ordnung, da Konjugation ein Gruppenautomorphismus ist.


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