Differenzieren, Gleichung in 2 Variablen



  • Frage, ich habe eine implziit gegebene Funktion:

    Blubb der x und y enthält = 0
    

    Eigentlich hnadelt es sich dabei ja genauso um eine Funktion in *einer* Variablen, nur, dass sie sich nicht auf y= umformen lässt. Das heißt ich kanns nicht "normal" ableiten, mit dy/dx.

    Wende also den Hauptsatz über implziite Funktionen an (wenn möglich):

    Fx(x,y(x))
    y' = - ----------
           Fy(x,y(x))
    

    Geschafft. Jetzt habe ich noch y'' zu berechnen. Habe die Frage schon in ähnlicher Form einmal gestellt: Da ich ja einfach für Fx und Fy einsetzen kann, habe ich ein ganz "normales" y' = und kann daraus y'' berechnen.

    Trotzdem haben wir's dann an der Uni anders gemacht, dort wurde folgendes unternommen:

    F(x,y(x)) = 0  ->  d/dx
    Fx + Fy * y'(x) = 0
    

    Noch klar, ist das Ergebnis des Hauptsatzes über implizite Funktionen. Auch klar: y'(x) benötigt wegen Kettenregel. Nicht klar: Warum ist die Ableitung die Summe von Fx und Fy? Ist das eine allgemeine Regel?

    Okay, aber gar nicht klar ist mir jetzt der Schritt auf y''(x):

    Fx + Fy * y'(x) = 0  ->  d/dx
    
    Fxx + Fxy * y'(x) + (Fyx + Fyy * y'(x)) * y'(x) + Fy * y''(x) = 0
    

    Meiner Meinung nach, ist jeder Term abgeleitet wieder die Summe aus Fx und Fy:

    Fx abgeleitet ist:
    
        Fxx + Fxy * y'
    
    Fy * y' abgeleitet ist (Einsatz der Produktregel):
        f' * g + f * g'
    
        zuerst mal nach x:
        Fyx * y' + Fy * y''
    
        danach nach y:
        Fyy * y' + Fy * y'' * y' // innere Ableitung hier korrekt gemacht?!
    
    Addiert und y' in der Ableitung des zweiten Terms herausgehoben (so sollte die oben angeschriebene Form laut Script dastehen):
    
        Fxx + Fxy * y'  +  (Fyx + Fyy + Fy * y'') * y' + Fy * y''
    

    Da scheint mir etwas bei der inneren Ableitung abhanden gekommen sein (= falsch gemacht worden zu sein?!). Oder habe ich das Konzept an sich noch nicht begriffen?

    MfG SideWinder



  • SideWinder schrieb:

    Fx abgeleitet ist:
    
        Fxx + Fxy * y'
    
    Fy * y' abgeleitet ist (Einsatz der Produktregel):
        f' * g + f * g'
    
        zuerst mal nach x:
        Fyx * y' + Fy * y''
    
        danach nach y:
        Fyy * y' + Fy * y'' * y' // innere Ableitung hier korrekt gemacht?!
    
    Addiert und y' in der Ableitung des zweiten Terms herausgehoben (so sollte die oben angeschriebene Form laut Script dastehen):
    
        Fxx + Fxy * y'  +  (Fyx + Fyy + Fy * y'') * y' + Fy * y''
    

    Hallo,

    wieso nimmst du an, dass

    d(y')/dy = y'' * y'
    

    ist? das macht irgendwie keinen Sinn.

    Wenn man das ganze in einer Lineare-Algebra-Vorlesungskompatiblen Schreibweise ausführt, sieht das ganze so aus:

    Definiere Abbildung 
        G : R ---> R x R
            x |--> (x, y(x))
    
        F : R x R ---> R
            (a,b) |---> F(a,b)
    
    nun ist
        F o G : R ---> R
                x |---> F(x, y(x))
    (mit der Eigenschaft
        FoG(x) = 0 für alle x
        )
    
    Die Ableitung berechnet sich nach der Kettenregel
    
        D[FoG](x) = DF|G(x) . DG(x)
    
    wobei der Punkt (.) für das Matrixprodukt steht.
    
    Ausgeschrieben ist das ganze
    
                                 [ G_1' ]
    DF|G(x) . DG(x) = [Fx, Fy] . [      ] = Fx * G_1' + Fy * G_2' 
                                 [ G_2' ]
    
    Einsetzen der Definition von G ergibt
    
        = Fx * 1 + Fy * y' = Fx + Fy * y'
    

    Du siehst also, dass die Regel dF/dx = Fx + Fy * y' sich aus der verallgemeinerten Kettenregel ergibt. Genauso kann man für eine Funktion
    F(x,y(x), z(x), a(x), b(x), ...) schreiben
    dF/dx = Fx + Fy y' + Fz z' + Fa a' + ...

    Nun zur zweiten Frage. Die Ableitung von Fy * y'. Hier musst du beachten, dass Fy immer noch eine Funktion R x R ---> R ist, während

    FyoG : x |---> Fy(x, y(x))
    

    eine Funktion R ---> R (Also nur mit eindimensionalem Definitionsbereich) ist.
    Hier gilt also die eindimensionale Produktregel, wie du richtig erkannt hast:

    d/dx( FyoG * y' ) = d/dx( FyoG ) y' + FyoG d/dx(y')
    = (Fyx + Fyy * y') * y' + Fy y''
    

    Hier habe ich die Ableitungsregel für FyoG eingesetzt, die ich oben (analog) für FoG hergeleitet habe.

    Übrigens: Dass deine Rechnung nicht stimmen kann, siehst du an einer Dimensionsanalyse: Jeder Summand muss die Dimension [F]/[x^2] haben.


    In der Skript-Formel ist das der Fall, in deiner nicht.



  • Danke für die Aufklärung, erstklassiges Posting.

    Allerdings verstehe ich diesen Schritt immer noch nicht:

    d/dx( FyoG * y' ) = d/dx( FyoG ) y' + FyoG d/dx(y') 
    = (Fyx + Fyy * y') * y' + Fy y''
    

    Du leitest nur noch nach x ab, wendest in der ersten Zeile die Produktregel an.

    d/dx ( FyoG ) = Fyx noch klar
    y' bleibt stehen = noch klar
    
    das heißt es fehlt noch:
    
    Fyy * y'² // woher kommt dieser term? innere ableitung?
    und
    Fy * y'' // f * g'
    

    MfG SideWinder



  • d/dx ( FyoG ) = Fyx noch klar
    y' bleibt stehen = noch klar
    
    das heißt es fehlt noch:
    
    Fyy * y'² // woher kommt dieser term? innere ableitung?
    und
    Fy * y'' // f * g'
    

    FyoG ist eine Funktion von nur einer Variablen, das heißt ich kann nur nach x ableiten, es gibt sonst nichts.

    Da der Term f * g' klar ist, geht es nur um f' * g. Und hier ist g = y', das ist auch klar. Damit muss ich nur noch f' (= FyoG') ausrechnen.

    Hier benutze ich wieder

    d/dx (FyoG) (x) = (Fy)x * d/dx(G_1) + (Fy)y * d/dx(G_2)  // Allgemeine Kettenregel
    
    // mit d/dx(G_1) = 1 und d/dx(G_2) = y' erhält man wieder
    
    = (Fy)x * 1 + (Fy)y * y' = Fyx + Fyy * y'
    

    Im Fyy * y'^2 - Term kommt das erste y' aus der inneren Ableitung d/dx(G_2) und das zweite y' stand schon vorher da und wurde nicht angefasst.

    Wenn man tatsächlich mit solchen Ausdrücken rechnet, verzichtet man darauf, die Hilfsfunktion G einzuführen, sondern schreibt oft

    $ F(x, a(x), b(x), ...) $

    \frac d {dx} F(x, a(x), b(x), ...) = \frac{\partial}{\partial x}F(x, a(x), b(x), ...) + \frac{\partial}{\partial a}F(x, a(x), b(x), ...) \cdot \frac{d}{dx}a + \frac{\partial}{\partial b}F(x, a(x), b(x), ...) \cdot \frac{d}{dx}b + ...$$$$

    (Totale Ableitung als Summe von partiellen Ableitungen multipliziert mit den inneren Abhängigkeiten.)
    Hierbei hat man eine Funktion F auf einem Vieldimensionalen Raum, berechnet jedoch die Variation von F auf einem Pfad durch diesen Raum, der durch die Funktionen a, b, ... gegeben ist.

    Man muss sich bei dieser Notation immer darüber im Klaren sein, was die unabhängige Variable ist und was die einzelnen partiellen Ableitungen bedeuten.

    SideWinder schrieb:

    d/dx( FyoG * y' ) = d/dx( FyoG ) y' + FyoG d/dx(y') 
    = (Fyx + Fyy * y') * y' + Fy y''
    

    Du leitest nur noch nach x ab, wendest in der ersten Zeile die Produktregel an.

    Deswegen meint das d/dx F in der ersten Zeile nicht Fx sondern die totale ableitung nach x, die alle Abhängigkeiten (der Argumente von F) von x berücksichtigt.

    Dagegen ist die Funktion FyoG(x) eine Funktion von x und nur x, in diesem Fall fallen "d/dx FyoG(x)" und (FyoG)_x(x) zusammen.



  • Danke sehr für diese *weit mehr* als ausführliche Antwort.

    Großes Lob!

    MfG SideWinder


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