Induzierte Abbildung
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f: A->B sei eine Abbildung, ~ eine Äquivalenzrelation auf A und Π die zugehörige kanonische Projektion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. Es gibt genau eine Abbildung $$\bar f$$ : A/~ -> B mit f = $$\bar f$$ o Π
2. Für alle x, y A gilt:
x~y f(x) = f(y)Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bezüglich der Gleichheit von f(x) = f(y).
Ich verstehe das so: für jedes Paar x,y aus A, das die Äquivalenzrelation erfüllt ergibt sich ein gleicher Funktionswert f(x) = f(y).
Das müsste ja dann für alle Abbildungen f: A->B gelten.
Nun denke ich mir mal eine Menge A aus: A:={1,2,3} und eine Äquivalenzrelation ~: ~ = M x M.
Dann ist 1~3, weil (1,3) Element von ~ und es müsste sein: f(1) = f(3). Das trifft doch aber nur für eine konstante Abbidung zu und nicht für alle Abbildungen.Wo ist mein Denkfehler?
Gruß,
m.
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mathematikpraktikant schrieb:
Das müsste ja dann für alle Abbildungen f: A->B gelten.
Nee, nur für die bei denen f(x) = f(y) gilt.
Die Rückrichtung kannst du wie folgt lesen: Zu jedem f, das die Bedingung x~y => f(x) = f(y) erfüllt, gibt es ein eindeutig bestimmtes $$\bar f$$ .
Über die f welche die Bedingung nicht erfüllen wird nichts ausgesagt.
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Achso! Na, das macht dann Sinn, das es nicht für alle Abbildungen gilt, würde ja auch gar nicht gehen.
Nun ist mir zum Glück auch mein Denkfehler klar geworden.
Vielen Dank für Deine Antwort!
Gruß,
m.