Singuläre Punkte einer parametrisierten Kurve

Laut der Definition in meinem Skript heißt ein Kurvenpunkt singulär wenn

$\dot{\vec{\gamma(t)}} = 0$

Die Ableitung der Kurve war laut einer anderen Definition:

\dot{\vec{\gamma(t)}} = (\dot{\gamma\_1}(t),\ldots,\dot{\gamma}\_n(t}))^T

Also wenn ich es richtig verstanden habe müssen im 2-dimensionalen die Ableitung von x(t) und y(t) null ergeben um einen singulären Punkt zu ergeben, oder?

Nunja gegeben habe ich nun folgende Kurve:

${\vec{\gamma(t)}} = \left(t^2,\dfrac{t}{3}\cdot (3-t^2)\right)^T$

Die Ableitung von t^2 = 2t
von t/3 (3-t^2) = 1-t^2

wenn ich das obere null setze bekomme ich nur null als nullstelle
das untere ergibt +/- 1

Also dachte ich mir dass diese Kurve keine singulären Punkte hat
ich habe sie mir jetzt aber mal plotten lassen und es sieht so aus als hätte die kurve einen Doppelpunkt der doch in jedem Falle einen singulären Punkt darstellt oder?
Der Doppelpunkt scheint bei (0,3) zu liegen
was logisch erscheint weil +/- sqrt(3) eingesetzt das selbe ergeben

nur widerspricht das dem was ich oben geschrieben habe...
ist da irgendow ein logischer fehler? sind meine definitionen nicht korrekt oder habe ich mich nur verrechnet?

shisha schrieb:

Also dachte ich mir dass diese Kurve keine singulären Punkte hat
ich habe sie mir jetzt aber mal plotten lassen und es sieht so aus als hätte die kurve einen Doppelpunkt der doch in jedem Falle einen singulären Punkt darstellt oder?
Der Doppelpunkt scheint bei (0,3) zu liegen
was logisch erscheint weil +/- sqrt(3) eingesetzt das selbe ergeben

nur widerspricht das dem was ich oben geschrieben habe...
ist da irgendow ein logischer fehler? sind meine definitionen nicht korrekt oder habe ich mich nur verrechnet?

Die Punkte mit Ableitung gleich Null sind die, wo die Kurve einen "Knick" haben kann (muss nicht). Wieso meinst du, dass bei einer Kreuzung auch ein singulärer Punkt ist? Ist das irgendwo definiert? Es geht schließlich nicht um die menge {gamma(t) | t in R} sondern wenn schon, dann um die menge {(gamma(t), t) | t in R}