Taylorpolynom ohne aufwändiges Differenzieren

$ e^~^{1-\sin(\frac{x^2}{2})-\cos(x)} $

Hiervon soll das Taylorpolynom bis Grad 4 um Entwicklungspunkt x_0 = 0 gebildet werden..

das habe ich schon...
(1 -1/24*x^4)

aber es steht da das man das auch ohne viel rechnen herausbekommen könnte, meine logischen Schritte führen aber zu einem anderen ergebnis.

Im ersten Schritt bei der nullten ABleitung ist einfach null einzusetzen:
der sinus von 0 = 0, cos(0) = 1 ->
exp(1-1) = 1
das ganze mal x^0 und geteilt durch 0! ändert ja auch nichts mehr:

Also erstes Glied: 1

sieht schon mal ganz gut aus...

die ableitung von diesem e^z ist wieder e^z
dann noch nachdifferenzieren
ist - cos(x^2/2)* x + sin(x)

das ergibt an der stelle 0 ausgewertet = 0*-1 +0 = 0
also dürfte ich etwas in der form

z´* e^z dastehen haben was ausgewertet 0 ergibt, oder?

zweites glied = 0

nun zum dritten glied:

ich müsste z´*e^z ableiten und an der stelle 0 auswerten
das sollte wieder 0 ergeben ... usw

laut aufgabenstellung muss ich GAR nicht differenzieren ... wie kann ich dann die aufgabe lösen?

auch über den ansatz e^x = summe x^n /n!

komme ich nicht weiter

das erste glied ist (1-sin(x^2/2)-cos(x))0 das ist 1 ... ok
das zweite glied (zähler) ist dann (1-sin(x^2/2)-cos(x)) an der stelle 0 = 0
drittes glied opbiges zum quadrat = 0 , usw...

wo kommt das -1/24 * x^4 her?!

Du kannst das ganze ohne differenzieren lösen, wenn Du die Taylorreihen von exp(), sin(), cos() kennst. Dann entwickelst du von innen nach außen

shisha schrieb:

$ e^~^{1-\sin(\frac{x^2}{2})-\cos(x)} $

exp( blubb ) 
= exp(1 - x^2/2 + O(x^6) - 1 + x^2/2 - x^4/24 + O(x^6))
= exp(-x^4/24 + O(x^6))
= 1 - x^4/24 + O(x^6) + O(x^8)
= 1 - x^4/24 + O(x^6)

Die O(x^k) sind für die formale korrektheit (und damit man nicht irgendwelche terme vergisst).