Wie heiß die Tangente einer Exponentialfunktion bei der deren Steigung genau 1 ist?

[Schnecke]

Hat die einen speziellen Namen?

Und dann habe ich noch eine weitere Frage, bzw. ein Problem zu dem ich nicht auf die Lösung komme.
Vielleicht ist es auch ganz einfach, nur bin ich halt kein Mathegenie.

Und zwar folgendes:
Ein Großhändler hat zu einem Preis von 3000 € 1000 Säcke Kaffee zu je 1 kg gekauft, dh. 1 Sack Kaffee kostete ihn 3 € und wiegt 1 kg.

Nun ist der Preis pro Sack von 3 € auf 0,80 € gefallen und nun möchte der Großhändler weitere Säcke Kaffee zu dem niedrigen Preis nachkaufen um den Durchschnittspreis aller Säcke die er besitzt zu drücken.

Jetzt ist es aber so, je mehr Säcke er zu dem niedrigen Preis von 0,60 € nachkauft, desto langsamer fällt der Durchschnittspreis.
D.h. während er bei den ersten 2000 Säcken seinen Durchschnittspreis noch drastisch reduzieren kann, gelingt ihm das beim 4000. oder 5000. Sack immer schwieriger den Durchschnittspreis zu senken, da der Durchschnittspreis gegen die 0,60 € bzw. unendlich geht, ohne die 0,60 € je zu erreichen, wenn man davon ausgeht, daß es eine unendliche Anzahl an Stellen für Centbeträge geben würde.
(In der Praxis kann man die 0.60 € natürlich schon erreichen, aber nur wegen dem Runden und auch nur bei einer großen Geld bzw. Sacksumme)
D.h. irgendwann macht es keinen Sinn mehr, weitere Säcke zu kaufen um den Preis zu drücken, da die Investitionssumme explonential zu einem untragbaren Betrag ansteigt.

Die Funktion sieht also mit Gnuplot so aus:

f(x)=(3000+0.60*x)/(1000+x)
set xrange[0:10000]
set yrange[0:3]
plot f(x)

Die X Achse steht für die Anzahl der Kaffeesäcke und die Y Achse für den Durchschnittspreis seiner gesamten Kaffeeware.
Siehe Bild:
(die 0 auf der X-Achse bei der 1000 rechts wurde leider verschluckt, es muß 10000 heißen)
[img=http://img25.imageshack.us/img25/3344/kaffeey.png]

Auf dem Funktionsgrafen erkennt man also, daß es einen Punkt auf der Funktion gibt ab dem der Durchschnittspreis langsamer fällt als die Anzahl der Säcke zu nimmt.
D.h. die Steigung müßte hier im Prinzip den Betrag von 1 erreichen und die Tangente genau einen -45° Winkel einnehmen.

Das Problem ist nur, daß eine errechnete Steigung niemals 1 ist, weil die Skalen bei der y Achse eine völlig andere ist, als auf der x Achse.
D.h. nur weil die x Achse um 1 steigt, heißt das nicht, daß dies dann auch bei der y Achse der Fall wäre.
Bei der y Achse wird dies nämlich niemals erreicht, wenn man die Proportionen für die x und y Achse genau gleich setzt.

Mit anderen Worten:
Mein Problem ist, daß ich mit der normalen Formel zum Berechnen für die Steigung m = delta y / delta x nie eine Steigung von 1 erreichen kann, da sie rechnerisch aufgrund der anderen Skalen mit dem die y Achse arbeitet, nie erreichbar ist..

Wie kann ich aber nun dennoch den Punkt errechnen auf dem der Durchschnittspreis anfängt langsamer zu fallen, als das die Anzahl der Säcke auf der X-Achse zu nimmmt?

[SeppJ]

Ich hoffe, du bist dir im Klaren, dass du hier die Antwort auf die Frage suchst, wann etwas das man in Geld misst kleiner wird als etwas, dass man in Anzahl misst. Das ist in etwa so, als würdest du fragen, wieviel Äpfel kleiner sind als 9 Uhr morgens.

Aber angenommen, du möchtest wissen, wann ein Sack Kaffee einen Preisunterschied von ein Euro ausmacht: Dazu müsstest du einfach die Ableitung deiner Funktion gleich 1 bzw. -1 setzen und auflösen. Und wie du schon erkannt hast, hat dies keine positive reelle Lösung. Selbst wenn er nur einen Sack kauft, ändert sich der durchschnittspreis um weniger als 1 Euro und je mehr Säcke er kauft, desto ungünstiger wird es.